Matemáticas/Cálculo en una variable/Continuidad

Definición formal

Distintas situaciones de una función en un punto.

$Funci\acute{o}n\{\begin{array}{c}Continua\{\begin{array}{c}Derivable\\ Noderivable\end{array}\\ \\ Discontinua\{\begin{array}{c}Evitable\\ Esencial\{\begin{array}{c}Deprimeraespecie\{\begin{array}{c}Desaltofinito\\ Desaltoinfinito\\ Asint\acute{o}tica\end{array}\\ Desegundaespecie\end{array}\end{array}\end{array}$

Continuidad en un punto

Una función f(x) es continua en un punto $x_0$ si verifica que:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta >0/|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<ϵ$

Informalmente esta definición quiere decir que podemos hacer que la imagen de un punto sea todo lo cercana que queramos a $f(x_0)$ tan solo acercando el punto x a $x_0$

Continuidad en un intervalo

Como resulta intuitivo, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.

f(x) es continua en [a,b] $⟺\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ f(x) es continua.

Propiedades

Sean f(x) y g(x) funciones continuas. Se verifica:

• af(x) es continua $a\in ℝ$
• f(x)+g(x) es continua
• f(x)g(x) es continua
• f(g(x)) es continua