Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

Definicion

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones $\overline{+}$ y $\circ$

Donde:

$\overline{+}:V\times V\to V$

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

$\circ :F\times V\to V$

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares

Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.

$\mathrm{\forall }x,y,z\in V:x\overline{+}(y\overline{+}z)=(x\overline{+}y)\overline{+}z$

Propiedad 2.

$\mathrm{\exists }!e\in V,\mathrm{\forall }x\in V:x\overline{+}e=e\overline{+}x=x$

Propiedad 3.

$\mathrm{\forall }x\in V,\mathrm{\exists }-x\in V:(-x)\overline{+}x=x\overline{+}(-x)=e$

Propiedad 4.

$\mathrm{\forall }x,y\in V:x\overline{+}y=y\overline{+}x$.

Propiedad 5.

$\mathrm{\exists }!1\in F,\mathrm{\forall }x\in V:1\circ x=x$

Propiedad 6.

$\mathrm{\forall }a\in F,\mathrm{\forall }x,y\in V:a\circ (x\overline{+}y)=(a\circ x)\overline{+}(a\circ y)$

Propiedad 7.

$\mathrm{\forall }a,b\in F,\mathrm{\forall }x\in V:(a\times b)\circ x=a\circ (b\circ x)$

Propiedad 8.

$\mathrm{\forall }a,b\in F,\mathrm{\forall }x\in V:(a+b)\circ x=(a\circ x)\overline{+}(b\circ x)$

Donde$+$ y $\times$ son las dos operaciones del campo F

A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.

No confundir $\overline{+}$ con $+$, el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que $\circ$ es producto de escalares por vectores y $\times$ es multiplicacion de escalares

Ejemplos

1. $V={ℝ}^2$ es un espacio vectorial sobre el campo $ℝ$

2. $V=M_{n\times m}(ℝ)$ (el conjunto de matrices de $n\times m$ con entradas en $ℝ$) es un espacio vectorial sobre el campo $ℝ$

3. ${\mathbb{P}}_n(ℝ)$ (los polinomios de grado menor o igual que $n$ con coeficientes en $ℝ$) son un espacio vectorial sobre el campo $ℝ$

4.

Teorema En un espacio vectorial siempre se cumplen las siguientes propiedades:

1. $0\circ x=e$, $\mathrm{\forall }x\in V$

donde $0\in F$ es el neutro de la operacion suma en F

1. $(-1)\circ x=-x$, $\mathrm{\forall }x\in V$
2. $a\circ e=e$, $\mathrm{\forall }a\in F$

Demostración

1. $(0\circ x)\overline{+}e=0\circ x=(0+0)\circ x=(0\circ x)\overline{+}(0\circ x)$ y por cancelacion $e=0\circ x$.
2. $x\overline{+}((-1)\circ x)=(1\circ x)\overline{+}((-1)\circ x)=(1+(-1))\circ x=0\circ x=e$. Como el simétrico (para la suma) de $x$ es único, tenemos $(-1)\circ x=-x$.
3. $(a\circ e)\overline{+}e=a\circ e=a\circ (e\overline{+}e)=(a\circ e)\overline{+}(a\circ e)$ y por cancelación $e=a\circ e$.