Estructuras de datos dinámicas/Soporte teórico

Cantidad de nodos en un árbol

Sea un árbol n-ario completo de altura h.

En el nivel 0 tendrá un solo nodo: la raíz. En el segundo tendrá $n$ nodos, en el tercero $n^2$; en general, en el nivel h tendrá $n^h$ nodos.

Para saber la cantidad total C de nodos que tiene el árbol completo de altura h, tendremos que sumar la cantidad de nodos de cada uno de los niveles:

$C=\sum _{k=0}^h{n}^k$

Simplificando la expresión

$C=\sum _{k=0}^h{n}^k=n^0+n^1+n^2+\cdots +n^{h-1}+n^h$

Multiplicando ambos lados por n:

$n.C=n^1+n^2+\cdots +n^{h-1}+n^h+n^{h+1}$

Restando miembro a miembro:

$n.C-C=n^1+n^2+\cdots +n^{h-1}+n^h+n^{h+1}-(n^0+n^1+n^2+\cdots +n^{h-1}+n^h)$

$n.C-C=-n^0+n^{h+1}$

$(n-1).C=n^{h+1}-1$

$C=\frac{n^{h+1}-1}{n-1}$