Álgebra Universitaria/Transformada de Fourier/Tabla de transformadas básicas

Tabla de transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor multiplicativo diferente de $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$, siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de $\frac{1}{2\pi }$ en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Función	Transformada
$\delta (t)$	$1$
$u(t)$ (Función unitaria de Heaviside)	$1/2(\delta (f)+1/(i\pi f))$
$\sin (w_{0}t)$	$\frac{\pi }{i}[\delta (w-w_0)-\delta (w+w_0)]$
$\cos (w_{0}t)$	$\pi [\delta (w-w_0)+\delta (w+w_0)]$
$1$	$\delta (f)=2\pi \delta (w)$
$e^{-at}u(t),\mathrm{R}\mathrm{e}(a)>0$	$\frac{1}{a+iw}$
$e^{-a|t|},$	$\frac{2a}{a^2+w^2}$
$t{e}^{-at}u(t),\mathrm{R}\mathrm{e}(a)>0$	$\frac{1}{(a+iw{)}^2}$
$\{\begin{array}{cc}\cos w_{0}x& |x|\le A\\ 0& |x|>A\end{array}$	$\frac{\sin A(w-w_0)}{2\pi (w-w_0)}+\frac{\sin A(w+w_0)}{2\pi (w+w_0)}$
$x(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }|t|<T_1\\ 0,& \text{si }|t|>T_1\end{array}$	$2T_1\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{w{T}_1}{\pi }\right)=2\frac{\sin (w{T}_1)}{w}$
$x(t)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(\frac{t}{2T_1}\right)=\{\begin{array}{cc}1-\frac{|t|}{T_1},& \text{si }|t|<T_1\\ 0,& \text{si }|t|>T_1\end{array}$	${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2\left(\frac{w{T}_1}{\pi }\right)$
$x(t)=e^{-t^2/a^2},\mathrm{I}\mathrm{m}(a)=0$	$\frac{a}{\sqrt{2}}{e}^{-a^2{w}^2/4}$