Ver el código de «Variable compleja/Fórmula de de Moivre»

La '''fórmula de De Moivre''' nombrada así por [[Abraham de Moivre]] afirma que para cualquier [[número complejo]] (y en particular, para cualquier [[número real]]) ''x'' y para cualquier [[número entero|entero]] ''n'' se verifica que:

:<math>\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right).\,</math>

Esta [[Fórmula (expresión)|fórmula]] es importante porque conecta a los [[número complejo|números complejos]] (''i'' significa [[unidad imaginaria]]) con la [[trigonometría]]. La expresión "cos ''x'' + ''i'' sen ''x''" a veces se abrevia como cis ''x''.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(''nx'') y sen(''nx'') en términos de cos(''x'') y sen(''x''). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima [[raíz de la unidad]], eso es, números complejos ''z'' tal que ''z<sup>n</sup>'' = 1.

[[Abraham De Moivre]] fue amigo de [[Isaac Newton|Newton]]; en [[1698]] este último escribió que ya conocía dicha fórmula desde [[1676]]. 

== Obtención ==

La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la [[fórmula de Euler]]:

:<math>e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x</math>

aplicando [[función exponencial|leyes de la exponenciación]]

:<math>\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx} .\,</math>

Entonces, por la [[fórmula de Euler]], 

:<math>e^{i(nx)} = \cos(nx) + i\sin(nx)\,</math>.

== Algunos resultados ==

Partiendo nuevamente de la [[fórmula de Euler]]:

:<math>e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x</math>

Si hacemos que <math>x=\pi</math> entonces tenemos la identidad de Euler:

:<math> e^{i\pi} = \cos \pi + \mathrm{i}\,\sin \pi=-1+0=-1</math>

Es decir:

:<math>e^{i\pi}=-1 \,</math>

Además como tenemos estas dos igualdades:

:<math>e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x \,</math>
:<math>e^{-ix} = \cos x - \mathrm{i}\,\sin x \,</math>

podemos deducir lo siguiente:

:<math>\cos x = ( e^{ix} + e^{-ix} ) / 2 \,</math>
:<math>\sin x = ( e^{ix} - e^{-ix} ) / 2\mathrm{i}\,</math>

== Demostración por inducción ==
Consideramos tres casos.

Para un entero ''n'' > 0, procedemos a través de la [[inducción matemática]]. Cuando ''n'' = 1, el resultado es claramente cierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo ''k''. Eso es que asumimos:

:<math>\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,</math>

Ahora, considerando el caso ''n'' = ''k'' + 1:

:<math>
\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \mbox{por la hipótesis de inducción}\\
                                      & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\
                                      & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mbox{por las identidades trigonométricas}
\end{alignat}
</math>

Deducimos que el resultado es verdadero para ''n'' = ''k'' + 1 cuando es verdadero para ''n'' = ''k''. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos ''n''≥1.

Cuando ''n'' = 0 la fórmula es verdadera ya que <math>\cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1</math>, y (por convención) <math>z^0 = 1</math>.


Cuando ''n'' < 0, consideramos un entero positivo ''m'' tal que ''n'' = −''m''. Por lo tanto:

<math>
\begin{alignat}{2}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right).
\end{alignat}
</math>

Por lo tanto el teorema es verdadero para todos los valores enteros de ''n''.

== Generalización ==
[[Archivo:RaicesCubicasDeUno.png|frame|Una representación en el [[plano complejo]] de las raíces cúbicas de 1.]]
La fórmula en realidad es verdadera en un campo mucho más general que el presentado arriba: si ''z'' y ''w'' son números complejos, entonces

:<math>\left(\cos z + i\sin z\right)^w</math>

es una [[función multivaluada]] mientras

:<math>\cos (wz) + i \sin (wz)\,</math>

no lo sea. Por lo tanto se puede asegurar que:

:<math>\cos (wz) + i \sin (wz) \,</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;es un valor de&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\left(\cos z + i\sin z\right)^w\,</math>.

== Aplicaciones ==

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

: <math>z=r\left(\cos x+i\sin x\right)</math>

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar. (siendo r el módulo)

=== Potencia ===

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:
: <math>
     z^n = \left[ r\left( \cos (x)+i\sin (x) \right) \right]^n = r^n \left[ \cos (nx) + i\sin (nx)  \right]
</math>

=== Raíces ===

Para obtener las <math>n</math> raíces de un número complejo, se aplica:
: <math>
     z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

</math>
donde <math>k</math> es un número entero que va desde <math>0</math> hasta <math>n-1</math>, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las <math>n</math> raíces diferentes de <math>z</math>.



== Enlaces externos ==
* {{springer|title=De Moivre formula|id=p/d030300}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/DeMoivresTheoremForTrigIdentities/ De Moivre's Theorem for Trig Identities] by Michael Croucher, [[Wolfram Demonstrations Project]].