Ver el código de «Problemario de Señales y Sistemas/Respuesta temporal de sistemas II»

==Respuesta temporal de sistemas ==
Considere el sistema que se muestra [[Imagen:signal1.png]] en el que <math>p(t)=1 \,</math> y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es: 

<math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math>

Determine:
# La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
# La respuesta del sistema a <math>x(t)=\cos(2\pi t)u(t)\,</math>
# Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia <math>s=j\omega\,</math>, ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
# Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

=== Subsección solución 1 ===

Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que <math>z(t)= x(t)p(t)\,</math> , si <math> x(t)= u(t)\,</math> entonces tenemos que:

<math>z(t)= u(t)\,</math> , así mismo sabemos que:

<math>H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> <math>= \frac{Y(s)}{Z(s)}\,</math>

Sabiendo que <math>Z(s)= \frac{1}{s}\,</math>, tenemos que:

<math>Y(s)= \frac{(s+2.5)}{s(s+1)(s+10)}\,</math>

Hacemos descomposición por fracciones simples:

<math>Y(s)= \frac{(A)}{s}\,</math> + <math>\frac{(B)}{s+1}\,</math> + <math>\frac{(C)}{s+10}\,</math>

Tenemos que: <math>A=0.25\,</math>, <math>B=\frac{(-1)}{6}\,</math> , <math>C=\frac{(-1)}{12}\,</math>

De donde tenemos que: 
<math>Y(s)= \frac{(0.25)}{s}\,</math> + <math>\frac{(-1)}{6(s+1)}\,</math> + <math>\frac{(-1)}{12(s+10)}\,</math>

Ademas sabemos que la transformada de Laplace de <math>u(t)e^{-at}\,</math> es <math>\frac{1}{s+a}\,</math>,.
 
Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a <math>Y(s)\,</math> tenemos que:

<math>y(t)= 0.25\,</math><math> -\,</math> <math>\frac{1}{6}\,</math> <math>e^{-t}\,</math> <math>-\,</math> <math>\frac{1}{12}\,</math> <math>e^{-10t}\,</math> , t>0

=== Subsección Solución 2 ===
Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como <math>z(t)=x(t)p(t)\,</math>  luego <math>x(t)=cos(2\Pi)u(t)\,</math>
Ahora sabemos que:
<math>Z(S)=\frac{s}{s^2+w^2}\,</math>
Luego tenemos que <math>Y(S)=H(S)Z(S)\,</math> entonces queda:
<math>Y(S)=\frac{s(s+2.5)}{(s+1)(s+10)(s+2\Pi i)(s-2\Pi i)}\,</math>
Ahora descomponemos en fracciones simples:
<math>Y(S)=\frac{A}{(s+1)}\,</math> + <math>\frac{B}{(s+10)}\,</math> + <math>\frac{C}{(s+2\Pi i)}\,</math> + <math>\frac{D}{(s-2\Pi i)}\,</math>
Luego tenemos que los coeficientes son:

<math>A=-0.004117\,</math>

<math>B=-0.059746\,</math>

<math>C=0.031932+0.031705i\,</math>

<math>D=0.031932-0.031705i\,</math>

Ahora escribimos 

<math>Y(S)=\frac{-0.004117}{(s+1}\,</math> + <math>\frac{-0.059746}{(s+10)}\,</math> + <math>\frac{(0.031932+0.031705i)}{(s+2\Pi i)}\,</math> + <math>\frac{(0.031932-0.031705i)}{(s-2\Pi i)}\,</math>

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo <math>x(t)=u(t)e^{-at}\,</math> es 
<math>X(S)=\frac{1}{(s+a)}\,</math>

Aplicando la transformada inversa a <math>Y(S)\,</math>encontramos
que :

<math>y(t)=-0.004117e^{-t}\,</math> <math>-0.059746e^{-10t}\,</math> + <math>(0.031932+0.031705i)e^{-2\Pi it}\,</math> + <math>(0.031932-0.031705i)e^{2\Pi it}\,</math>  ,t>0
=== Subsección Solución 3===
Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339
 A partir de la función de transferencia:  <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> 
Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

 <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> => <math> \mathcal{F}\{h(t)\}=H(jw)=\frac{(jw+2.5)}{(jw+1)(jw+10)}\,</math>

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

[[Imagen:magnitudnew.PNG]]

FASE:

[[Imagen:fasenew.PNG]]




===Subseccion solucion pregunta 4===

Oswaldo Gonzalez #0335981



Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:
 <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+X)(s+10)}\,</math> 


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

<math>H(s)=\frac{(A)}{s+X}\,</math> + <math>\frac{(B)}{s+10}\,</math>


<math>A=\frac{2.5-X}{10-X}\,</math>  y   <math>B=\frac{-7.5}{X-10}\,</math>

Sabemos que la transformada de Laplace de <math>u(t)e^{-at}\,</math> es <math>\frac{1}{s+a}\,</math>, por lo que anti-transformando obtenemos: 

por lo tanto:

<math>h(t)=Ae^{-Xt} + Be^{-10t}    \forall \; t>0\,</math>

Se debe escoger el mayor valor de <math>|X|\,</math> posible, entiéndase <math>X=5\,</math>, para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

 <math>A=\frac{2.5-5}{10-5}=-0.5\,</math>  <math>y\,</math>   <math>B=\frac{-7.5}{5-10}=1.5\,</math>

 <math>\mathcal{L} \{h(t)=(-0.5e^{-5t}+1.5e^{-10t})u(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+5)(s+10)}=\frac{(-0.5)}{s+5}\,</math> + <math>\frac{(1.5)}{s+10}\,</math> 


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

<math>H(jw)=\frac{2.5(\frac{jw}{2.5}+1)}{5*10(\frac{jw}{5}+1)(\frac{jw}{10}+1)}=\frac{0.05(\frac{jw}{2.5}+1)}{(\frac{jw}{5}+1)(\frac{jw}{10}+1)}\,</math>

por definicion tenemos <math>\Rightarrow \;</math> <math>|H(jw_c)|=\frac{0.05}{\sqrt{2}}\,</math>

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio : <math>w_c^4-675w_c^2-2500=0\,</math>

haciendo el cambio <math>x=w_c^2\,</math> obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

<math>x^2-675x-2500=0\,</math> cuyas raices son   <math>x_1=-3.68\,</math>  y    <math>x_2=678.68\,</math>

asi, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente <math>\Rightarrow \;</math> <math>w_c=26.05\,</math> pues <math>w_c\,</math> debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.