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== '''Respuesta temporal de sistemas''' ==
En esta sección se estudian las respuestas temporales de sistemas a diferentes señales de entrada.

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==Problemas==
===Problema #1===

Considere el sistema que se muestra [[Imagen:transfer_function.png]] en el que la función de transferencia del sistema viene determinada por:
<math>G(s)=\frac{4}{(5s+1)(10s+1)}\,</math>

Determine:
# La respuesta al impulso del sistema
# La respuesta al escalón del sistema
# Grafique el diagrama de polos y ceros, señale el polo dominante y, suponiendo que cuando estamos a menos del 2% del valor <math>y(\infty)\,</math> ya alcanzamos el valor de estado estacionario, establezca una relación entre el tiempo que tarda en llegar al estado estacionario y el inverso del polo dominante.
# Dibuje el diagrama de Bode del sistema (puede ser la aproximación en línea recta).
# ¿Cuál es el valor de la salida en estado estacionario (<math>t\rightarrow \infty \,</math>) cuando <math>x(t)=2+\cos(2\pi t)+\sin(100\pi t)\,</math>?
  Nota: Cuando usamos la transformada de Laplace unilateral para calcular respuestas temporales
  estamos suponiendo que la señal es aplicada a partir de <math>t=0</math>, así que, formalmente,
  en la pregunta anterior la señal <math>x(t)</math> debería comenzar en <math>t=0</math> o, lo
  que es lo mismo, estár multiplicada por <math>u(t)</math>. Ahora bien, como lo que se pide es la
  respuesta en estado estacionario, i.e., <math>t\rightarrow \infty</math>, en este caso, esa
  diferencia es irrelevante, ¿por qué?

==== Subsección Solución 1 ====

Por: Simara Pérez Carnet: 04-37413

1.

Se sabe que: <math>Y(s)=G(s)X(s)\,</math>.

Como <math>x(t)\,</math> es un impulso, y la Transformada de Laplace del impulso es igual a 1, se tiene que: 

<math>Y(s)=G(s)=\frac{4}{(5s+1)(10s+1)}\,</math>.

Descomponiento <math>Y(s)\,</math> en fracciones simples se obtiene:

<math>Y(S)=\frac{A}{5s+1} + \frac{B}{10s+1}</math>

Calculando A y B se tiene que: <math>A=-4\,</math>,<math>\,B=8</math>

Así, <math>Y(s)=\frac{-4}{5s+1} + \frac{8}{10s+1}=\frac{4}{5}\left(\frac{1}{s+(1/10)} - \frac{1}{s+(1/5)}\right)</math>

Se sabe que la Tranformada de Laplace de la función <math>e^{-at}u(t)\,</math> es <math>\frac{1}{s+a}</math>. Así, aplicando la Tranformada Inversa de Laplace se obtiene:

<math>y(t)=\frac{4}{5}\left(e^{-t/10}-e^{-t/5}\right)u(t)\,</math>


==== Subsección Solución 2 ====
Por Vanessa Ventosa #04-37699

2.
sabemos que: <math>Y(s)=G(s)X(s)\,</math> y <math>x(t)\,</math> un escalón, cuya transformada es igual a <math>X(s)=\frac{1}{s}</math>, luego se tiene:

<math>Y(s)=\frac{4}{s(5s+1)(10s+1)}</math>, que descomponiendo en fracciones simples:
<math>Y(S)=\frac{A}{5s+1} + \frac{B}{10s+1} + \frac{C}{s}</math>

Calculando, los coeficientes resultan: <math>A=20\,</math>,<math>\,B=-80</math>,<math>\,C=4</math>, entonces:

<math>Y(S)=\frac{20}{5s+1} - \frac{80}{10s+1} + \frac{4}{s}=\frac{4}{s+(1/5)} - \frac{8}{s+(1/10)} + \frac{4}{s}</math>

si aplicamos la transformada inversa a <math>Y(s)\,</math>, sabiendo que la transformada inversa de <math>\frac{1}{s+a}</math> es <math>e^{-at}u(t)\,</math> nos queda finalmente la respuesta al escalón:

<math>y(t)=(4e^{-t/5}-8e^{-t/10}+4)u(t)\,</math>


==== Subsección Solución 3 ====

Por Carlos Rizzo, carnet  #04-37496.

Solución a la parte 4:

Como podemos, observar, la función de transferencia del sistema es: 

<math>G(s)=\frac{4}{(5s+1)(10s+1)}\,</math>

De esta forma, visualizamos claramente las raíces.

El diagrama de Bode de magnitud viene dado por:

[[Imagen:Diagrama_mag.JPG]]

Observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son:  <math>\frac{1}{10}\!</math> y <math>\frac{1}{5}\!</math> respectivamente, como consecuencia de los polos de la función de transferencia.


La ecuación de la recta (1) es: <math>y = 12.04-20log(10w)\,</math>.

La ecuación de la recta (2) es: <math>y = 6.02-40log(5w)\,</math>.

Observese que el punto de corte con el eje “y” viene dado por la expresión <math> 20 log (4) \!</math>, correspondiente a la magnitud del numerador, y que el eje de corte con el eje “x” se obtiene igualando la ecuación de la recta (2) a y = 0.

De esta forma: <math>0 = 6.02-40log(5w)\,</math>.

que luego de despejar, se obtiene: <math> w =\frac{10^{\,\!\frac{6.02}{40}\,}}{5} = 0.282 \,</math>


El diagrama de Bode de fase viene dado por:

[[Imagen:Diagrama_fase.JPG]]

Nuevamente, observamos que las frecuencias representadas en el eje “x” son: <math>\frac{0.1}{10}\,</math> ,<math>\frac{1}{10}\,</math>  y <math>\frac{10}{10}\,</math>  para el polo 10; y<math>\frac{0.1}{5}\,</math> ,<math>\frac{1}{5}\,</math>  y <math>\frac{10}{5}\,</math>  para el polo 5.

====Subsección Solución 5====

Por: Oriana Vásquez  04-37692

5.	
<math>\ G(j\omega)=\frac{4}{(5j\omega+1)(10j\omega+1)}</math>

<math>\ G(j\omega)=\frac{4}{(50j^2\omega^2+15j\omega+1)}</math>

<math>\left | G(j\omega) \right \vert=\frac{4}{\sqrt{2500\omega^4+125\omega^2+1}}</math>

<math>\angle G(j\omega)=-\arctan \frac{15\omega}{(1-50\omega^2)}</math>

Para la frecuencia de <math>\ 2\pi</math> se tiene:

Atenuación=<math>5.13\cdot10^{-5}</math>

Desfase=<math>2.735^\circ</math>

Para la frecuencia de <math>\ 100\pi</math> se tiene:

Atenuación=<math>8.11\cdot10^{-7}</math>

Desfase=<math>0.055^\circ</math>

<math>\ x(\infty)=2+5.13\cdot10^{-5}\cos(2\pi t+2.735^\circ)+8.11\cdot10^{-7}\sin(100\pi t+0.055^\circ)</math>

====Subsección Solución 4====
Gustavo Méndez
0134141

3.
Las gráficas son las mismas del apartado 4, con la salvedad que en el caso del escalón hay un polo en cero que contribuye con -20 dB en el diagrama de magnitud y con -45 grados en el diagrama de fase.


Si consideramos que la señal está a menos del 2 % del valor <math>y(\infty)\,</math>, implica que es 3.92 o 4.08. Tomemos 3.92 e igualemos a la solución del apartado 2,

<math>3.92=(4e^{-t/5}-8e^{-t/10}+4)u(t)\,</math>

donde obtenemos que t= 46 segundos.

Por otra parte consideremos el polo dominante se encuentra ubicado en 0.1,

<math>Tau=\frac{1}{polo dominante}\,</math>

<math>Tiempo estacionario=4Tau\,</math>

se puede deducir que,

<math>Tiempo estacionario=\frac{4}{polo dominante}\,</math>

Esto nos da a conocer que el tiempo estacionario es de 40 segundos, lo que es aproximadamente igual al valor obtenido previamente.



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===Problema #2===
Considere el sistema que se muestra [[Imagen:signal1.png]] en el que <math>p(t)=1 \,</math> y la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (la función de transferencia) del sistema es: 

<math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math>

Determine:
# La respuesta del sistema a una entrada escalón unitario
# La respuesta del sistema a <math>x(t)=\cos(2\pi t)u(t)\,</math>
# Para determinar las respuesta frecuencial del sistema sólo se requiere substituir, en la función de transferencia <math>s=j\omega\,</math>, ¿por qué?. Dibuje el diagrama de Bode de magnitud y fase del sistema. Determine el ancho de banda del sistema.
# Si, modificando los parámetros del sistema, usted desea hacer que el sistema sea más rápido, y puede elegir entre llevar el polo que está en -1 a -0.1 ó a -5, ¿cuál configuración elegiría y por qué?. ¿que sucede con el ancho de banda del sistema?

==== Subsección solución 1 ====

Por: Elaine Rojas carnet:0437523

1.

Tenemos que <math>z(t)= x(t)p(t)\,</math> , si <math> x(t)= u(t)\,</math> entonces tenemos que:

<math>z(t)= u(t)\,</math> , así mismo sabemos que:

<math>H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> <math>= \frac{Y(s)}{Z(s)}\,</math>

Sabiendo que <math>Z(s)= \frac{1}{s}\,</math>, tenemos que:

<math>Y(s)= \frac{(s+2.5)}{s(s+1)(s+10)}\,</math>

Hacemos descomposición por fracciones simples:

<math>Y(s)= \frac{(A)}{s}\,</math> + <math>\frac{(B)}{s+1}\,</math> + <math>\frac{(C)}{s+10}\,</math>

Tenemos que: <math>A=0.25\,</math>, <math>B=\frac{(-1)}{6}\,</math> , <math>C=\frac{(-1)}{12}\,</math>

De donde tenemos que: 
<math>Y(s)= \frac{(0.25)}{s}\,</math> + <math>\frac{(-1)}{6(s+1)}\,</math> + <math>\frac{(-1)}{12(s+10)}\,</math>

Además sabemos que la transformada de Laplace de <math>u(t)e^{-at}\,</math> es <math>\frac{1}{s+a}\,</math>,.
 
Entonces aplicando la transformada inversa de Laplace a <math>Y(s)\,</math> tenemos que:

<math>y(t)= 0.25\,</math><math> -\,</math> <math>\frac{1}{6}\,</math> <math>e^{-t}\,</math> <math>-\,</math> <math>\frac{1}{12}\,</math> <math>e^{-10t}\,</math> , t>0

==== Subsección Solución 2 ====
Por: Sarah Spadavecchia #04-37632

como <math>z(t)=x(t)p(t)\,</math>  luego <math>x(t)=cos(2\Pi)u(t)\,</math>
Ahora sabemos que:
<math>Z(S)=\frac{s}{s^2+w^2}\,</math>
Luego tenemos que <math>Y(S)=H(S)Z(S)\,</math> entonces queda:
<math>Y(S)=\frac{s(s+2.5)}{(s+1)(s+10)(s+2\Pi i)(s-2\Pi i)}\,</math>
Ahora descomponemos en fracciones simples:
<math>Y(S)=\frac{A}{(s+1)}\,</math> + <math>\frac{B}{(s+10)}\,</math> + <math>\frac{C}{(s+2\Pi i)}\,</math> + <math>\frac{D}{(s-2\Pi i)}\,</math>
Luego tenemos que los coeficientes son:

<math>A=-0.004117\,</math>

<math>B=-0.059746\,</math>

<math>C=0.031932+0.031705i\,</math>

<math>D=0.031932-0.031705i\,</math>

Ahora escribimos 

<math>Y(S)=\frac{-0.004117}{(s+1}\,</math> + <math>\frac{-0.059746}{(s+10)}\,</math> + <math>\frac{(0.031932+0.031705i)}{(s+2\Pi i)}\,</math> + <math>\frac{(0.031932-0.031705i)}{(s-2\Pi i)}\,</math>

Sabemos que la transformada de Laplace de una función del tipo <math>x(t)=u(t)e^{-at}\,</math> es 
<math>X(S)=\frac{1}{(s+a)}\,</math>

Aplicando la transformada inversa a <math>Y(S)\,</math>encontramos
que :

<math>y(t)=-0.004117e^{-t}\,</math> <math>-0.059746e^{-10t}\,</math> + <math>(0.031932+0.031705i)e^{-2\Pi it}\,</math> + <math>(0.031932-0.031705i)e^{2\Pi it}\,</math>  ,t>0
==== Subsección Solución 3====
Por: Hugo Negrette carnet: 04-37339
 A partir de la función de transferencia:  <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> 
Podemos obtener la respuesta frecuencial, si sustituimos s=σ+jw, con σ=0. Es decir llevamos la función de transferencia que obtenemos con Laplace, a una respuesta frecuencial que se obtiene con fourier, haciendo sigma igual a cero.

 <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+1)(s+10)}\,</math> => <math> \mathcal{F}\{h(t)\}=H(jw)=\frac{(jw+2.5)}{(jw+1)(jw+10)}\,</math>

DIAGRAMA DE BODE:

MAGNITUD:

[[Imagen:magnitudnew.PNG]]

FASE:

[[Imagen:fasenew.PNG]]




====Subseccion solucion pregunta 4====

Oswaldo Gonzalez #0335981



Buscaremos primero la respuesta general a la siguiente función de transferencia siendo X el polo a ser desplazado:
 <math>\mathcal{L} \{h(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+X)(s+10)}\,</math> 


Hacemos descomposición por fracciones simples obteniendo:

<math>H(s)=\frac{(A)}{s+X}\,</math> + <math>\frac{(B)}{s+10}\,</math>


<math>A=\frac{2.5-X}{10-X}\,</math>  y   <math>B=\frac{-7.5}{X-10}\,</math>

Sabemos que la transformada de Laplace de <math>u(t)e^{-at}\,</math> es <math>\frac{1}{s+a}\,</math>, por lo que anti-transformando obtenemos: 

por lo tanto:

<math>h(t)=Ae^{-Xt} + Be^{-10t}    \forall \; t>0\,</math>

Se debe escoger el mayor valor de <math>|X|\,</math> posible, entiéndase <math>X=5\,</math>, para que los efectos transitorios del sistema desaparezcan lo mas rápido posible. De tal manera las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

 <math>A=\frac{2.5-5}{10-5}=-0.5\,</math>  <math>y\,</math>   <math>B=\frac{-7.5}{5-10}=1.5\,</math>

 <math>\mathcal{L} \{h(t)=(-0.5e^{-5t}+1.5e^{-10t})u(t)\}=H(s)=\frac{(s+2.5)}{(s+5)(s+10)}=\frac{(-0.5)}{s+5}\,</math> + <math>\frac{(1.5)}{s+10}\,</math> 


Para encontrar el ancho de banda del sistema tenemos que:

<math>H(jw)=\frac{2.5(\frac{jw}{2.5}+1)}{5*10(\frac{jw}{5}+1)(\frac{jw}{10}+1)}=\frac{0.05(\frac{jw}{2.5}+1)}{(\frac{jw}{5}+1)(\frac{jw}{10}+1)}\,</math>

por definicion tenemos <math>\Rightarrow \;</math> <math>|H(jw_c)|=\frac{0.05}{\sqrt{2}}\,</math>

consiguiendo,luego de simplificar, el siguiente polinomio : <math>w_c^4-675w_c^2-2500=0\,</math>

haciendo el cambio <math>x=w_c^2\,</math> obtenemos la siguiente ecuación cuadrática:

<math>x^2-675x-2500=0\,</math> cuyas raices son   <math>x_1=-3.68\,</math>  y    <math>x_2=678.68\,</math>

así, devolviendo el cambio, se encuentra como valida unicamente <math>\Rightarrow \;</math> <math>w_c=26.05\,</math> pues <math>w_c\,</math> debe ser real y positiva.

Por lo tanto el ancho de banda aumenta significativamente.