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== ''' Convolución de 2 variables y Cálculo de Respuesta de Sistemas LTI mediante ella ''' ==
En esta sección añadimos problemas de convolución

==Problemas==

=== Problema 6 02 08 ===

Para el circuito RLC que se muestra en la figura, determine (R=3,L=2,C=K=2):
# La respuesta al escalón
# La respuesta al impulso
# La respuesta a <math>x(t)=e^{-2t}u(t)  \,</math>



=== Problema 7 02 08 ===
Considere un sistema LTI cuya respuesta al impulso es la función <math>\Delta(t)=r(t+1)-2r(t)+r(t-1) \,</math>. ¿Es este sistema causal?. Justifique su respuesta.

Calcule y grafique la salida del sistema a las señales:
#  <math>x_1(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-2k) \,</math>
#  <math>x_2(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-4k) \,</math>

=== Problema 8 02 08 ===
El sistema de la pregunta anterior se coloca en cascada con un segundo sistema cuya respuesta al impulso es <math>h(t)=\frac{1}{2}\Pi(\frac{t-1}{2}) \,</math>, donde <math>\Pi(t)=u(t+0.5)u(0.5-t) \,</math>. ¿Es este segundo un sistema causal?

Determine y grafique la respuesta de la cascada de sistemas a las entradas del problema anterior

=== Problema 9 02 08 ===
Considere la cascada de dos sistemas. El primero, que llamaremos S1, comprime (operación sobre el tiempo) la señal de entrada por un factor de 2, i.e., <math>y(t)=x(2t) \,</math>. El segundo (S2) es un circuito  RC (filtro pasabajos) con RC=1. Si la señal de entrada es <math>x(t)=2e^{-t}u(t) \,</math> calcule la salida de la cascada de ambos si:
# <math>x(t) \rightarrow S1 \rightarrow S2 \rightarrow  y(t) \,</math>
# <math>x(t) \rightarrow S2 \rightarrow S1 \rightarrow  y(t) \,</math>
¿Serán idénticas las salidas?, ¿deberían serlo?.

=== Problema 10 02 08 ===

Considere la señal <math>x_1(t)=e^{-t}u(t) \,</math> y tengamos un sistema cuya respuesta al impulso es  <math>h(t)=u(t)u(1-t) \,</math>. Calcule y grafique la respuesta a las siguientes señales:
# <math>x_2(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-kT) \,</math>. T>1
# <math>x_3(t)=x_1(t)x_2(t) \,</math>.
# <math>x_4(t)=\lim_{T\rightarrow 0} x_3(t) \,</math>.
# ¿Puede generalizar su resultado a cualquier ''h(t)''y ''x(t)''?

=== Problema 11 02 08 ===
Grafique cada una de las señales y realice las siguientes convoluciones:
# <math>e^{-t}u(t)u(t-2)\star \delta(t) \,</math>.
# <math>r(t)u(1-t)\star u(t-2)u(4-t) \,</math>.
# <math>e^{-|t|}u(t+2)u(2-t)\star u(t-1)u(2-t) \,</math>.
# <math>\sin(2\pi t)u(t)u(1-t)\star 2u(t+1)u(1-t) \,</math>.
# <math>\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\star e^{-t}u(t) \,</math>.

==== Solución ====
'''Resuelto por Ender Valdivieso Carnet 06-40411'''

'''Ejercicio 1'''

<math> x_1 (t)= e^{-t} u(t)u(t-2) \,</math>.

<math> h_1 (t)= \delta (t) \,</math>.


Gráfica de <math> x_1 (t)= e^{-t} u(t)u(t-2) \,</math>.

[[Imagen:110208X1.jpg]]


Gráfica de <math> h_1 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208H1.jpg]]

A priori conocemos que la función delta <math>\delta (t) \,</math> es el elemento neutro en la convolución. Por ende, debemos obtener la misma señal como salida. Al realizar los cálculos tenemos:


<math> x_1 (t-\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} e^{\tau-t} & t-2< \tau <t \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.  </math>



Para <math> 0 < t < 2 \,</math>

<math>y_1 (t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tau-t}\delta(\tau)d\tau</math>



<math>y_1 (t) = e^{-t} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau</math>



<math>y_1 (t) = e^{-t} u(t)u(2-t)\, </math>



Gráfica de # <math> y_1 (t)=x_1(t)\star h_1(t) \,</math>.

[[Imagen:110208Y1.jpg]]


'''Ejercicio 2'''



<math> x_2 (t)= r(t)u(1-t) \,</math>.


<math> h_2 (t)= u(t-2)u(4-t) \,</math>.


Gráfica de <math> x_2 (t) \,</math>.


[[Imagen:X2.jpg]]


Gráfica de <math> h_2 (t) \,</math>.


[[Imagen:110208H2.jpg]]


<math> h_2 (t-\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} 1 & t-4< \tau <t-2 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.  </math>


<math> x_2 (\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} \tau & 0< \tau <1 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.  </math>





Para <math> 2 < t < 3 \, </math>


<math>y_2 (t) = \int_{0}^{t-2}\tau d\tau</math>


<math>y_2 (t) = \frac {(t-2)^2}{2}</math>





Para <math> 3 < t < 4\, </math>


<math>y_2 (t) = \int_{0}^{1}\tau d\tau</math>


<math>y_2 (t) = \frac{1}{2}</math>




Para <math> 4 < t < 5 \, </math>


<math>y_2 (t) = \int_{t-4}^{1}\tau d\tau</math>


<math>y_2 (t) = \frac {1}{2} - \frac {(t-4)^2}{2}</math>





Enotonces la función <math>y_2 (t)\,</math> quedaría de la forma 

<math> y_2 (t)= \left \{ \begin{array}{lc} \frac {(t-2)^2}{2} & 2< t < 3 \\ \frac {1}{2} & 3< t < 4 \\ \frac {1}{2} - \frac {(t-4)^2}{2} & 4< t < 5 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.  </math>



Gráfica de # <math> y_2 (t)=x_2(t)\star h_2(t) \,</math>.

[[Imagen:110208Y2.jpg]]



'''Ejercicio 3'''


<math> x_3 (t)= e^{-|t|}u(t+2)u(2-t) \,</math>.


<math> h_3 (t)= u(t-1)u(2-t) \,</math>.



Gráfica de <math> x_3 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208X3.jpg]]


Gráfica de <math> h_3 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208H3.jpg]]


<math>x_3(\tau)= \left \{ \begin{array}{lc} e^{\tau} & -2 < \tau < 0 \\ e^{-\tau} & 0 < \tau < 2 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. \,</math>

<math>h_3(t-\tau)= \left \{ \begin{array}{lc} 1 & t-2 < \tau < t-1 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. \,</math>




Para <math>-1 < t < 0\,</math>



<math>y_3(t)=\int_{-2}^{t-1}e^{\tau}d\tau\,</math>



<math>y_3(t)=e^{t-1}-e^{-2}\,</math>





Para <math>0 < t < 1\,</math>



<math>y_3(t)=\int_{t-2}^{t-1}e^{\tau}d\tau\,</math>



<math>y_3(t)=e^{t-1}-e^{t-2}\,</math>




Para <math>1 < t < 2\,</math>



<math>y_3(t)=\int_{t-2}^{0}e^{\tau}d\tau + \int_{0}^{t-1}e^{-\tau}d\tau\,</math>



<math>y_3(t)=-e^{-t+1}-e^{t-2}+2\,</math>





Para <math>2 < t < 3\,</math>



<math>y_3(t)=\int_{t-2}^{t-1}e^{-\tau}d\tau\,</math>



<math>y_3(t)=e^{-t+1}-e^{-t+2}\,</math>





Para <math>3 < t < 4\,</math>



<math>y_3(t)=\int_{t-2}^{2}e^{-\tau}d\tau\,</math>



<math>y_3(t)=e^{-t+2}-e^{-2}\,</math>




La función sería <math>y_3(t)=0\,</math> para cualquiero otro valor de <math>t\,</math>



En síntesis, la función sería de la forma


<math>y_3(t)=\left \{ \begin{array}{lc} e^{t-1}-e^{-2} & 0 < t < 1 \\ e^{t-1}-e^{t-2} & 0 < t < 1 \\ -e^{-t+1}-e^{t-2}+2 & 1 < t < 2 \\ e^{-t+1}-e^{-t+2} & 2 < t < 3 \\ e^{-t+2}-e^{-2} & 3 < t < 4 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.\,</math>




Gráfica de # <math> y_3 (t)=x_3(t)\star h_3(t) \,</math>.

[[Imagen:110208Y3.jpg]]

'''Ejercicio 4'''


<math> x_4 (t)= \sin(2\pi t)u(t)u(1-t) \,</math>.


<math> h_4 (t)= 2u(t+1)u(1-t) \,</math>.


Gráfica de <math> x_4 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208X4.jpg]]


Gráfica de <math> h_4 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208H4.jpg]]

<math> x_4(\tau )=\left \{ \begin{array}{lc} (2\pi t) & 0 < \tau < 1 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. \,</math>


<math> h_4(t-\tau )=\left \{ \begin{array}{lc} 2 & t-1 < \tau < t+1 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. \, </math>





Para <math>-1 < t < 0 \,</math>



<math>y_4(t)=\int_{0}^{t+1}2\sin(2*\pi \tau)d\tau \,</math>



<math>y_4(t)=1-\cos (2\pi t) \,</math>





Para <math>0 < t < 1 \,</math>


<math>y_4(t)=\int_{0}^{1}2\sin(2*\pi \tau)d\tau \,</math>



<math>y_4(t)=0 \,</math>




Para <math>1 < t < 2 \,</math>


<math>y_4(t)=\int_{t-1}^{1}2\sin(2*\pi \tau)d\tau \,</math>



<math>y_4(t)= \cos (2\pi t) - 1\,</math>


En síntesis, la función sería de la forma


<math>y_4(t)=\left \{ \begin{array}{lc} 1-\cos (2\pi t) & -1 < t < 0 \\ \cos (2\pi t) - 1 & 1 < t < 2 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right.\,</math>





Gráfica de # <math> y_4 (t)=x_4(t)\star h_4(t) \,</math>.

[[Imagen:Y4.jpg]]



'''Ejercicio 5'''

<math> x_5 (t)= \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} \,</math>.


<math> h_5 (t)= e^{-t}u(t) \,</math>.


Gráfica de <math> x_5 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208X5.jpg]]


Gráfica de <math> h_5 (t) \,</math>.

[[Imagen:110208H5.jpg]]



<math>x_5(\tau)=\frac{\sin(\pi \tau)}{(\pi \tau)} \,</math>



<math>h_5(t-\tau)=\left \{ \begin{array}{lc} e^{\tau -t} & \tau <t \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. \,</math>


Para todo tiempo se cumple que 

<math> y_5(t)=\int_{-\infty}^{t} \frac {\sin(\pi \tau)}{(\pi \tau)}e^{\tau-t}d\tau \,</math>

Una versión imprimible se encuntra en el siguiente archivo[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Promebla110208.pdf Archivo]

===Problema 1===
Sean,

#<math> x_1(t) = e^{-|t|}u(t)u(2-t)  \,</math>
#<math> x_2(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-4k) </math>
#<math> x_3(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Pi_1(t-8k) </math>

Determine:
# <math> y_1(t)=x_1(t)*x_2(t) \,</math>
# <math> y_2(t)=x_1(t)*x_3(t) \,</math>

==== Subsección 1 Problema 1 ====


'''Realizado Por:''' Jesús Querales #05-38758


1. <math>y_1(t)=x_1(t)*x_2(t)=x_2(t)*x_1(t) \,</math>


Haciendo,


<math>x_2(t)=x(t) \,</math>

<math>x_1(t)=h(t) \,</math>


Por definición tenemos que la convolución esta dada por:


<math>y_1(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)\, d\tau</math>


Estableciendo,


<math>x(\tau)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\tau-4k)</math>


<math>h(t-\tau)=e^{-|t-\tau|}u(t-\tau)u(2-t+\tau)  \,</math>


Entonces resulta,


<math>y_1(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\tau-4k) e^{-|t-\tau|}u(t-\tau)u(2-t+\tau)\, d\tau </math>


<math>y_1(t)=\int_{t}^{t-2} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\tau-4k) e^{-|t-\tau|}</math>


Usando la propiedad de filtrado del impulso,


<math>y_1(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t-4k|} \int_{t}^{t-2} \delta(\tau-4k)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{-|t-4k|} </math>


==== Subsección 2 Problema 1 ====


'''Realizado Por:''' Alexander Gamero #05-38196


En el intervalo donde esta definido <math> x_1(t) = e^{-|t|}\ u(t)\ u(2-t)  \,</math>, <math>[0,2] \,</math>, <math>t\ge0</math> 


Por lo que se puede reescribir <math> x_1(t) = e^{-t}\ u(t)\ u(2-t)  \,</math>


Al ser <math> x_3(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Pi_1(t-8k) </math> una señal periódica (<math>T=8 \,</math>), se puede convolucionar <math>x_1(t) \,</math> con un período de <math>x_3(t) \,</math>


Para <math>k=0 \,</math>, 


<math>x_3(t)=u(-t+ \frac {1}{2})\ u(t+ \frac {1}{2}) \,</math>


Entonces, utilizando la definición de convolución;


<math>y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x_3(\tau)x_1(t-\tau)\, d\tau</math>


Esta convolución se calcula graficamente de la siguiente manera:


*<math>-\frac {1}{2} \le t \le \frac {1}{2}</math>


<math>y(t)=\int_{-\frac {1}{2}}^{t} e^{-t+\tau}\, d\tau=1-e^{-t+\frac {1}{2}}</math>


*<math>\frac {1}{2} \le t \le \frac {3}{2}</math>


<math>y(t)=\int_{-\frac {1}{2}}^{\frac {1}{2}} e^{-t+\tau}\, d\tau=e^{-t+\frac {1}{2}}-e^{-(t+\frac {1}{2})}</math>


*<math>\frac {3}{2} \le t \le \frac {5}{2}</math>


<math>y(t)=\int_{t-2}^{\frac {1}{2}} e^{-t+\tau}\, d\tau=e^{-t+\frac {1}{2}}-e^{-2}</math>


*<math>y(t)=0 \,</math> para todo lo demás


Para hallar la señal periódica <math>y(t) \,</math> reemplazamos <math>t\ \mbox{por}\ t-8k \,</math>, resultando:


<math>y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \begin{cases} 1-e^{-t-\frac {1}{2}+8k}, & \mbox{si } -\frac {1}{2}+8k \le t \le \frac {1}{2}+8k \\ e^{-(t-\frac {1}{2}-8k)}-e^{-(t+\frac {1}{2}-8k)}, &  \mbox{si } \frac {1}{2}+8k \le t \le \frac {3}{2}+8k \\ e^{-t+\frac {1}{2}+8k}-e^{-2}, & \mbox{si } \frac {3}{2}+8k \le t \le \frac {5}{2}+8k \\ 0, & \mbox{ para todo lo demas} \end{cases}</math>
''''''