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'''1.3.1.''' Las operaciones entre conjuntos consisten en tomar ciertos elementos de uno y ciertos de otro para formar con ellos nuevos conjuntos. Así, por ejemplo, si <math>\,x</math> e <math>\,y</math> son dos conjuntos, la ''unión'' de <math>\,x</math> e <math>\,y</math> es el conjunto


<center><math>x\cup y=\{a\mid a\in x</math> o <math>a\in y\}</math>.</center>


Esto es, <math>x\cup y</math> consiste de todos los elementos que están ya sea en <math>\,x</math>, ya sea en <math>\,y</math>, ya sea en ambos <math>\,x</math> e <math>\,y</math>. La unión se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente:


[[File:Venn0111.svg|thumb|center|<center><math>x\cup y</math></center>]]


Sean <math>\,x</math>, <math>\,y</math> y <math>\,z</math> conjuntos cualesquiera. Se cumplen las propiedades siguientes:

<blockquote>
<p>'''( U-1 )''' <math>x\cup x=x</math> (idempotencia)</p>
<p>'''( U-2 )''' <math>x\cup\varnothing=x</math>  (identidad) </p>
<p>'''( U-3 )''' <math>x\cup y=y\cup x</math>  (conmutatividad) </p>
<p>'''( U-4 )''' <math>x\cup(y\cup z)=(x\cup y)\cup z</math> (asociatividad) </p>
<p>'''( U-5 )''' <math>x\subseteq x\cup y</math></p>
<p>'''( U-6 )''' <math>x\subset y</math> si y solo si <math>x\cup y=y</math>
</blockquote>

Estas propiedades son fácilmente demostrables. Veamos la demostración de '''( U-2 )''' y '''( U-6 )''':


'''( U-2 )''' Hay que demostrar que todo elemento de <math>x\cup\varnothing</math> es elemento de <math>x</math> (demostrar que <math>x\cup\varnothing\subseteq x</math>) y que, recíprocamente, todo elemento de <math>x</math> es elemento de <math>x\cup\varnothing</math> (demostrar que <math>x\subseteq x\cup\varnothing</math>). Si <math>a\in x\cup\varnothing</math>, entonces <math>a\in x</math> o <math>a\in\varnothing</math>, de lo que solo puede ser <math>a\in x</math>. Recíprocamente, si <math>a\in x</math>, entonces <math>a\in x\cup\varnothing</math>. Por tanto <math>x\cup\varnothing=x</math>. 


'''( U-6 )''' Supóngase que <math>x\subseteq y</math> pero que <math>x\cup y\neq y</math>. Entonces, en particular, existe <math>a\notin y</math> tal que <math>a\in x\cup y</math>, pero si esto es cierto, <math>a\in x</math>, lo que contradice el hecho de que <math>x\subseteq y</math>. Recíprocamente, si <math>x\cup y=y</math>, entonces de '''( U-5 )''' se sigue el resultado deseado.


'''1.3.2.''' La ''intersección'' de dos conjuntos <math>\,x</math> e <math>\,y</math> se define como el conjunto


<center><math>x\cap y=\{a\mid a\in x\quad \mbox{y}\quad a\in y\}</math>.</center>


Es decir, <math>x\cap y</math> es el conjunto formado por todos los elementos que están tanto en <math>\,x</math> como en <math>\,y</math>. La intersección se representa por el área sombreada en el diagrama siguiente :

[[Imagen:Setsintersection.png|thumb|center|<center><math>x\cap y</math></center>]]


Sean <math>\,x</math>, <math>\,y</math> y <math>\,z</math> conjuntos cualesquiera

<blockquote>
<p>'''( I-1 )''' <math>x\cap x=x</math> (idempotencia)</p>
<p>'''( I-2 )''' <math>x\cap\varnothing=\varnothing</math></p>
<p>'''( I-3 )''' <math>x\cap y=y\cap x</math>  (conmutatividad) </p>
<p>'''( I-4 )''' <math>x\cap(y\cap z)=(x\cap y)\cap z</math> (asociatividad) </p>
<p>'''( I-5 )''' <math>x\cap y\subseteq x</math></p>
<p>'''( I-6 )''' <math>x\subseteq y</math> si y solo si <math>x\cap y=x</math>
</blockquote>


Además, se cumplen las siguientes leyes distributivas:

<blockquote>
<p>'''( UI-1 )''' <math>x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap(x\cup z)</math></p>
<p>'''( UI-2 )''' <math>x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup(x\cap z)</math></p>
</blockquote>


'''1.3.3.''' Si <math>\,x</math> e <math>\,y</math> son dos conjuntos tales que <math>x\cap y=\varnothing</math> (i.e. si <math>\,x</math> e <math>\,y</math> no tienen elementos en común) se dice que <math>\,x</math> e <math>\,y</math> son ''conjuntos disjuntos''.



'''1.3.4.''' Las operaciones de unión e intersección pueden generalizarse. Si <math>\,C</math> es una colección (conjunto) de conjuntos, la unión de los conjuntos de <math>\,C</math> puede definirse como el conjunto


<center><math>\bigcup_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{existe}\ x\in C\ \mathrm{tal}\ \mathrm{que}\ a\in x\}</math>.</center>


Así, <math>a\in\bigcup_{x\in C}x</math> si y solo si existe por lo menos un conjunto <math>\,x</math> en <math>\,C</math> que contenga al elemento <math>\,a</math>. Como caso particular, tenemos


<center><math>\bigcup\{x,y\}=x\cup y</math>.</center>


'''1.3.5.''' De manera similar, la intersección de los conjuntos de una colección <math>C\,</math> se define por


<center><math>\bigcap_{x\in C}x=\{a\mid\mathrm{para}\ \mathrm{todo}\ x\in C,\quad a\in x\}</math>.</center>


Por tanto, <math>a\in\bigcap_{x\in C}x</math> si <math>a\in x</math> para todo conjunto <math>\,x</math> de <math>\,C</math> (i.e. <math>\bigcap_{x\in C}x</math> consiste de los elementos que están en todo conjunto de <math>\,C</math>). Como caso particular, tenemos


<center><math>\bigcap\{x,y\}=x\cap y</math>.</center>



'''1.3.6.''' Nótese que, de acuerdo a la definición anterior, si <math>C=\varnothing</math>, entonces, puesto que en ese caso <math>x\in\varnothing</math> implica <math>a\in x</math> para cualquiera que sea el conjunto <math>\,x</math> y el elemento <math>\,a</math>, el conjunto <math>\bigcap C</math> lo contiene todo.


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