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=== Condición de alineación de tres puntos ===
Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos <math> P</math>(<math> x</math>  , <math>  y </math>), <math> P_1</math>(<math> x_1</math>  , <math>  y_1 </math>),  <math> P_2</math>(<math> x_2</math>  , <math>  y_2 </math>) pertenecientes a una recta <math>\vec r </math> no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean <math> P</math>', <math> P_1</math>' y <math> P_2</math>' las proyecciones ortogonales  sobre el eje <math>\vec x </math>  de los puntos <math> P</math>, <math> P_1</math> y <math> P_2</math>, y <math> P</math>", <math> P_1</math>" y <math> P_2</math>" las proyecciones ortogonales  sobre el eje <math>\vec y </math>  de los puntos <math> P</math>, <math> P_1</math> y <math> P_2</math>. Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.
<br />
Como las rectas  (<math> P</math><math> P</math>'), (<math> P_1</math><math> P_1</math>') y  (<math> P_2</math><math> P_2</math>') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes <math>\vec r </math> y <math>\vec x </math> resulta:
{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)} = \frac{d(P',P'_1)}{d(P',P'_2)}  \!</math>
|}
<br />
De igual forma, las rectas  (<math> P</math><math> P</math>"), (<math> P_1</math><math> P_1</math>") y  (<math> P_2</math><math> P_2</math>") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes <math>\vec r </math> y <math>\vec y </math> Resulta :

{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P,P_1)}{d(P,P_2)} = \frac{d(P'',P''_1)}{d(P'',P''_2)}  \!</math>
|}
<br />
En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:
{| border=0 align=center
|<math>\frac{d(P',P'_1)}{d(P',P'_2)} = \frac{d(P'',P''_1)}{d(P'',P''_2)}   \!</math>
|}
<br />
Considerando el orden de los puntos de la recta <math>\vec r </math>, se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:

{| border=0 align=center
|<math>\frac{x-x_1}{x-x_2} = \frac{y-y_1}{y-y_2}   \!</math>
|}
ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta <math>\vec r </math>.<br />

Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :<math>\frac{d(P',P'_1)}{d(P',P'_2)} = \frac{d(P'',P''_1)}{d(P'',P''_2)}   \!</math><br />
<br />
quedará como :  <math>\frac{x-x_1}{x_2-x} = \frac{y-y_1}{-(y_2-y)}  \Leftrightarrow \frac{x-x_1}{-(x-x_2} = \frac{y-y_1}{-(y-y_2)}  \Leftrightarrow \frac{x-x_1}{x-x_2} = \frac{y-y_1}{y-y_2}  \! </math><br />
Lo anterior es equivalente a:
<br />
{| border=1 align=center
|<math>\ (x-x_1)(y-y_2) = (x-x_2) (y-y_1)  \!</math>
|}