Ver el código de «Matemáticas/Ecuaciones/Ecuación Racional»


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| Función racional de grado 2:
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| <math> y = \cfrac{x^2 -3x -2}{x^2 -4} </math>
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| Función racional de grado 3:
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| <math> y = \cfrac{x^3 -2x}{2(x^2 -5)} </math>
|}


En [[matemáticas]], una '''función racional''' de una variable es una [[función matemática|función]] que puede ser expresada de la forma:
{{ecuación|
<math>f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}</math>
||left}}
donde ''P'' y ''Q'' son [[polinomio]]s y ''x'' una variable, siendo ''Q'' distinto del polinomio nulo. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando [[Polinomios de varias variables|polinomios de varias variables]].

La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una ''razón'' o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser [[números racionales]] o no.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del [[análisis numérico]] para [[interpolación|interpolar]] o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

== Ejemplos ==
[[Función homográfica]]:
:<math>f(x) = \frac{a x + b}{c x + d}</math>
si  el denominador es distinto de cero, y si ad ≠ bc, la curva correspondiente es una hipérbola equilátera.<ref>{{cita libro|
|url=http://books.google.com/books?id=XGrILRo8GmsC&lpg=PA58&dq=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&hl=es&pg=PA58#v=onepage&q=funci%C3%B3n%20homogr%C3%A1fica&f=false
|título=Cálculo infinitesimal 
|autor=Pedro Pérez Carreras
|editorial=Universidad Politécnica de Valencia
}}</ref>

== Propiedades ==
* Toda función racional es de [[Función continua#Clase_de_continuidad|clase <math>C^\infty</math>]] en un dominio que no incluya las [[raíz de una función|raíces]] del polinomio ''Q''(''x'').
* Todas las funciones racionales en las que el [[Polinomio|grado]] de Q sea mayor o igual que el grado de P tienen [[asíntota]]s (verticales, horizontales u oblicuas).
* Todas las funciones racionales cuyos coeficientes pertenecen a un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]] forman un cuerpo que incluye al cuerpo base como subcuerpo. El cuerpo de funciones racionales forma un subcuerpo del cuerpo de [[serie de potencias formal|series de potencias formales]].

== Integración de funciones racionales ==
Dada una función racional:

:<math>f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]</math>

Si el denominador es un polinómico mónico <math>\scriptstyle Q(x)</math> con ''k'' [[raíz de una función|raíces]] diferentes, entonces admitirá la siguiente [[factorización]] en términos de [[polinomio irreducible|polinomio irreducibles]]:

:<math>\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k}
(x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\
k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}</math>

Si <math>\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)</math> entonces la función racional puede escribirse como [[combinación lineal]] de fracciones racionales de las formas:

:<math>\begin{matrix}
f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\
f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\
f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}
</math>

Por lo que la integral de la función <math>\scriptstyle f_i(x)</math> es una combinación lineal de funciones de la forma <math>\scriptstyle F_i(x)</math> :

:<math>\begin{matrix}
F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\
F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) =
\cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}}
+ \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\
F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) &
F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}
</math>

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un [[Cuerpo de cocientes|cuerpo algebraico]] que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.