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Se denomina  '''transformación lineal''', '''aplicación lineal''' o '''función lineal''' a toda [[función matemática|aplicación]] cuyo dominio y codominio sean [[espacio vectorial|espacios vectoriales]] que cumpla la siguiente definición:

:Sean <math>V</math> y <math>W</math> espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo <math>K</math>, y <math>T</math> una función de <math>V</math> en <math>W</math>. <math>T</math> es una transformación lineal si para todo par de vectores <math>u</math> y <math>v</math> pertenecientes a <math>V</math> y para todo escalar <math>k</math> perteneciente a <math>K</math>, se satisface que:

:# <math>T(u+v) = T(u) + T(v) \,</math>
:# <math>T(ku) = kT(u) \,</math> donde k es un [[escalar (matemática)|escalar]].

== Ejemplos ==

=== Transformación lineal identidad ===

:<math>T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x,</math> <math>\forall x \in V</math>

== Operador diferencial como transformación lineal ==
El operador diferencial puede ser tratado como una transformación lineal. En efecto, dado ''V'' = ''C''[0,1] el [[espacio vectorial]] de todas las funciones con valor real continuas en el intervalo [0,1] y se supone que ''W'' es el [[subespacio vectorial|subespacio]] de ''C''[0,1] que involucra todas las funciones con primeras derivadas continuas sobre el [[intervalo cerrado]] [0,1].

:::Sea D:  la ''transformación'' de ''V'' en ''W'' que aplica '''f''' hacia su derivada; esto es:

:::::D('''f''')='''f´'''

Al usar las propiedades de la derivación, resulta

:::D('''f''' + '''g''')=D('''f''') + D('''g''')

:::::D(k'''f''') = kD('''f''')

De tal modo D es una ''[[transformación lineal]]'' <ref>"Introducción al álgebra lineal" de Howard Antón (1989) sin ISBN, pág. 253</ref>

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<references />