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La '''Teoría de grafos,''' también llamada '''Teoría de gráficas''', es una rama de las [[matemáticas]] y las [[ciencias de la computación]] que estudia las propiedades de los [[grafo]]s, y que no se debe confundir con las [[gráfica]]s que tienen una acepción muy amplia. Formalmente, ''un grafo'' <math>G=(V,E)</math> es una pareja ordenada en la que <math>V</math> es un conjunto no vacío de vértices y <math>E</math> es un conjunto de aristas. Donde <math>E</math> consta de pares no ordenados de vértices, tales que si {<math>{x,y}</math>}<math>\in E</math> entonces decimos que <math>x</math> e <math>y</math> son adyacentes; y [en el grafo] se representa mediante una línea no orientada que una a dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama ''digrafo'', se denota <math>D</math>, y entonces el par <math>(x,y)</math> es un par ordenado, y se representa con una flecha que va de <math>x</math> a <math>y</math>, y decimos que <math>(x,y)\in A</math>.<ref>{{Cita libro|apellidos=Godsil, Chris and Royle, Gordon|nombre=|enlaceautor=|título=Algebraic Graph Theory|url=|fechaacceso=|año=2001|editorial=Springer|isbn=|editor=|ubicación=New York|página=|idioma=|capítulo=}}</ref> 

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las [[matemáticas discretas]] y de las [[matemáticas aplicadas]]. Es una teoría que requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como [[combinatoria]], [[álgebra]], [[probabilidad]], [[Matemáticas/Geometría]] de polígonos, [[aritmética]] y [[topología]]. Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la [[informática]], las [[ciencias de la computación]] y [[Telecomunicación|telecomunicaciones]]. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se  conoce como [[análisis de redes]].<ref>CEPAL Charlas Sobre Sistemas Complejos Sociales (CCSSCS): Analisis de Redes1: https://www.youtube.com/watch?v=oy8YxTshZhI&list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A & Analisis de Redes2: https://www.youtube.com/watch?v=1abtP36Wx24&list=UUQbp2yA-gyew7E_tzgOI36A; Curso completo en linea: http://www.martinhilbert.net/CCSSCS.html</ref>

== Historia ==
[[Archivo:7 bridges.svg|thumb|Los 7 puentes del río Pregel en Königsberg.]]
El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el [[problema de los puentes de Königsberg]], el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del [[Río Pregolya|río Pregel]] ({{coord|54|42|12|N|20|30|56|E|region:RU_source:nlwiki}}) en la ciudad de [[Königsberg]], actualmente [[Kaliningrado]], de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de [[Leonhard Euler]] sobre el problema titulado ''Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis''<ref>{{Cita publicación |autor = Euler, L. |título = Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis |año = 1736 |revista = Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae |volumen = 8 |número = |id = 128-140 |url = http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf}}</ref> (''La solución de un problema relativo a la geometría de la posición'')  en [[1736]], es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la [[topología]].

Luego, en [[1847]], [[Gustav Kirchhoff]] utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como [[leyes de Kirchhoff]], considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de [[ingeniería]].

En [[1852]] [[Francis Guthrie]] planteó el [[Teorema de los cuatro colores|problema de los cuatro colores]] el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por [[Kenneth Appel]] y [[Wolfgang Haken]] en [[1976]], puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

En [[1857]], [[Arthur Cayley]] estudió y resolvió el problema de enumeración de los [[isómeros]], compuestos químicos con idéntica composición (fórmula) pero diferente [[estructura molecular]]. Para ello representó cada [[Compuesto químico|compuesto]], en este caso [[hidrocarburos saturados]] C<SUB>n</SUB>H<sub>2n+2</sub>, mediante un grafo [[Árbol (teoría de grafos)|árbol]] donde los vértices representan [[átomo]]s y las aristas la existencia de [[enlaces químicos]].

El término ''«grafo»'', proviene de la expresión ''H«graphic notation»'' usada por primera vez por [[Edward Frankland]]<ref>http://booklens.com/l-r-foulds/graph-theory-applications pag 7</ref> y posteriormente adoptada por [[Alexander Crum Brown]] en [[1884]], y hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una [[molécula]].

El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por [[Dénes Kőnig]] y publicado en [[1936]].<ref>{{citation|last1=Tutte|first1=W.T.|authorlink=W. T. Tutte|title=Graph Theory|publisher=Cambridge University Press|year=2001|isbn=978-0-521-79489-3|page=30|url=http://books.google.com/books?id=uTGhooU37h4C&pg=PA30}}.</ref>

== Aplicaciones ==
Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la síntesis de [[circuito]]s secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.

Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el trayecto aplicando diversos [[algoritmo]]s como puede ser el algoritmo de [[Robert W. Floyd|Floyd]].

Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como [[técnica de revisión y evaluación de programas]] (PERT) en las que se modelan los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.

La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial para desarrollar un concepto no metafórico de [[red social]] que sustituye los nodos por los actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos (aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a quiénes.

Se emplea en problemas de control de producción, para proyectar redes de ordenadores, para diseñar módulos electrónicos modernos y proyectar sistemas físicos con parámetros localizados (mecánicos, acústicos y eléctricos).

Se usa para la solución de problemas de genética y problemas de automatización de la proyección (SAPR). Apoyo matemático de los sistemas modernos para el procesamiento de la información. Acude en las investigaciones nucleares (técnica de diagramas de Feynman).<ref>Gorbátov:«Fundamentos de la matemática discreta»</ref>

Los grafos son importantes en el estudio de la [[biología]] y hábitat. El vértice representa un hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede cambiar o afectar a las especies en su hábitat.
<center>
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Archivo:Diagrama Conceptual ejemplo.png|[[Mapa conceptual|Mapas conceptuales]]
Archivo:Madrid Metro Map.svg|Plano de estaciones del [[Metro (sistema de transporte)|metro]].
Archivo:West Midlands UK location map.svg|Plano de [[autopista]]s.
Archivo:CircuitoDosMallas.png|[[Circuito eléctrico]]
Archivo:Social-network.svg|[[Sociograma]] de una [[red social]]
Archivo:Fully topology.png|[[Topología de red]] de [[Computadora electrónica|computador]]es
Archivo:Ministry of Defence Guatemala organisation chart.svg|[[Organigrama]]s
Archivo:Monocrotophos isomers.png|[[Isomero]]s
Archivo:Gsm network architecture.png|[[Red de celdas|Arquitectura de redes]] de [[telefonía móvil]]
Archivo:Mitbat-2007-bracket-large.png|Draws de [[eliminación directa]] (ej: [[tenis]])
</gallery></center>

Entre las aplicaciones de la Teoría de gráficas que se han vuelto importantes en la actualidad podemos encontrar el estudio de las redes sociales, cuya importancia radica en el adecuado almacenamiento de datos, puesto que el costo del tiempo de búsqueda de la información de cada miembro que pertenece a esta red puede tornarse demasiado alto debido al número de usuarios. Por ejemplo, el número de usuarios que hay actualmente en una importante red social tan solo en México es de 49 millones -cifra reportada por el periódico El economista en 2014-, si este número lo multiplicamos por 194 que es el número aproximado de países que hay en el mundo, se percibe la posibilidad de un grave problema de almacenamiento para los servidores que hay destinados para ello y para la búsqueda de información. Este mismo fenómeno pasa en otras redes de fotografías, mensajes, etc. El modelado de este tipo de problemas ha sido abordado principalmente por estudiantes de doctorado de universidades como Stanford, Massachusetts Institute of Technology (MIT), Berkeley, Oxford, Rice y también por la NASA; en México, tanto el Instituto Politécnico Nacional (IPN) como la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) son los principales promotores en estas áreas a través de los grupos académicos de combinatoria y de computación científica. Podemos considerar que este tipo de problemas son tratados por expertos en matemáticas y ciencias de la computación, debido a su alto grado de complejidad.

El cerebro humano es una red compleja que&nbsp; interactúa en regiones conectadas por tractos de sustancia blanca. La caracterización de características estructurales y funcionales de una red tal en sujetos sanos y personas enfermas tiene la posibilidad de mejorar nuestra comprensión de la fisiopatología y las manifestaciones&nbsp;neurológicas y condiciones psiquiátricas. Esto ha llevado al uso de nuevas herramientas para el análisis de sistemas complejos para hacer frente enfermedades cerebrales. Entre estos, la teoría de grafos es un marco matemático que permite describir una red en forma de una&nbsp; gráfica, que consiste en una colección de los nodos (es decir, regiones del cerebro) y los bordes (es decir, estructurales y conexiones funcionales) .El uso de la teoría de grafos, distinto modificaciones de la topología de red cerebro han sido identificados durante el desarrollo y el envejecimiento normal, y se rompieron conectividades funcionales y estructurales han sido asociado con varios trastornos neurológicos y psiquiátricos, incluyendo demencia, esclerosis lateral amiotrófica, y la esquizofrenia. En este último enfoque se ha contribuido a probar la teoría de esta condición como un síndrome de desconexión. En la esclerosis múltiple (MS), la ocurrencia de la desconexión ha sido corroborada por estudios de resonancia magnética estructural de topología de la red cerebral que mostró una disminución de la conectividad estructural de las regiones de los lóbulos fronto-temporal.

Otra aplicación de las gráficas consiste en tomar datos de resonancia magnética del cerebro adquiridos en condición ausente ( '' estado de reposo '') requieren nuevos análisis de datos técnicas que no dependen de un modelo de activación, una alternativa son los métodos libre de parámetro en base a una forma particular de la centralidad del vector propio asociado a un nodo llamado de centralidad; la  centralidad del vector propio asigna atributos de un valor a cada voxel en el cerebro de manera que un voxel recibe un valor grande si está fuertemente correlacionada con muchos otros nodos que son centrales dentro de la red; el  algoritmo PageRank de Google es una variante del vector propio centralidad el cual es utilizado en las búsquedas que se efectúan en internet. Hasta el momento, otras medidas de centralidad - en particular '' centralidad de intermediación '' - se han aplicado a datos de la fMRI usando un conjunto pre-seleccionado de nodos que consisten en varios cientos de elementos. Centralidad del Vector Propio es computacionalmente mucho más eficiente que centralidad de intermediación y no requiere de umbrales de valores de similitud de modo que se puede aplicar a miles de voxels en una región de interés que cubren la totalidad del cerebro que habría sido inviable el uso de centralidad de intermediación. Centralidad del Vector Propio se puede utilizar en una variedad de diferentes medidas de similitud. (Lohmann et al., 2010).
“La teoría de redes complejas   juega un papel importante en una amplia variedad de disciplinas,
que van desde la informática, sociología, ingeniería y física, para molecular
y la biología de la población. Dentro de los campos de la biología y la medicina, el potencial de
aplicaciones de análisis de redes incluyen, por ejemplo, la identificación objetivo de drogas, determinando una función del gen de la proteína, o  diseñar estrategias eficaces para el tratamiento de diversas enfermedades o proporcionar el diagnóstico precoz de trastornos. “ (Pavlopoulos et al., 2011)
La teoría de gráficas, es adecuada para que  los informáticos modelen problemas, pero también es adecuado para los matemáticos que tienen  interés en la complejidad computacional. La mayoría de los conceptos clásicos de la teoría de grafos teórica y aplicada (árboles de expansión, conectividad, género, colorabilidad, fluye en las redes, los apareamientos y recorridos). Se usa en la solución de problemas.(Czumaj, Jansen, Meyer auf der Heide, & Schiermeyer, 2006)

== Tipos de grafos ==
* '''Grafo simple.''' o simplemente ''grafo'' es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.
* '''[[Multigrafo]]'''. Es el que acepta más de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman ''múltiples'' o ''lazos'' (''loops'' en [[idioma inglés|inglés]]). Los ''grafos simples'' son una subclase de esta categoría de grafos. También se les llama ''grafos general''.
* '''Pseudografo'''. Si incluye algún lazo.
* '''[[Grafo orientado, dirigido o digrafo]]'''. Son grafos en los cuales se ha añadido una ''orientación'' a las aristas, representada gráficamente por una flecha.
* '''[[Grafo etiquetado]]'''. Grafos en los cuales se ha añadido un ''peso'' a las aristas ([[número entero]] generalmente) o un ''etiquetado'' a los vértices.
* '''[[Grafo aleatorio]]'''. Grafo cuyas aristas están asociadas a una ''[[probabilidad]]''.
* '''[[Hipergrafo]]'''. Grafos en los cuales las aristas tienen más de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o más vértices.
* '''[[Grafo infinito]]'''. Grafos con conjunto de vértices y aristas de ''[[Infinito|cardinal infinito]]''.

== Representación de grafos ==
{{AP|Grafo (estructura de datos)}}
Existen diferentes formas de representar un grafo (simple), además de la geométrica y muchos métodos para almacenarlos en una computadora. La [[estructura de datos]] usada depende de las características del grafo y el [[algoritmo]] usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en [[grafo disperso|grafos dispersos]] porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

=== Estructura de lista ===
* '''[[Lista de incidencia]]''' - Las aristas son representadas con un [[vector]] de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.<ref>[//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Incidence_list_2.svg/500px-Incidence_list_2.svg.png Ejemplo de una lista de incidencia]</ref>

* '''[[Lista de adyacencia]]''' - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento extra.

* '''[[Secuencia de grados|Lista de grados]]''' - También llamada ''secuencia de grados'' o ''sucesión gráfica'' de un grafo no-dirigido es una secuencia de números, que corresponde a los grados de los vértices del grafo.
<!-- En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n) donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta. -->

=== Estructuras matriciales ===
* '''[[Matriz de adyacencia]]''' - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño <math>n^2</math>, donde <math>n</math> es el número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento <math>m_{x, y}</math> es 1, de lo contrario, es 0.

* '''[[Matriz de incidencia]]''' - El grafo está representado por una [[matriz (matemática)|matriz]] de A (aristas) por V (vértices), donde [vértice, arista] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
<center>
{| class="wikitable"
! Grafo G(V,A)
! Conjuntos
! Matriz de adyacencia
! Matriz de incidencia
! Secuencia de grados
! Lista de Adyacencia
|-
|[[Archivo:6n-graph2.svg|150px]]
| V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
A = { {1,1}, {1,2}, {1,5},<br> {2,3}, {2,5}, {3,4},<br> {4,5}, {4,6} }
|<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}</math>
|<math>\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
|(4,3,3,3,2,1)
|{ {1,2,5}, {3,5}, {4}, {5,6} }
|}
</center>

== Problemas de teoría de grafos ==

=== Ciclos y caminos hamiltonianos ===
{{AP|Ciclo hamiltoniano}}
[[Archivo:Hamiltonian path.svg|thumb|200px|Ejemplo de un ciclo Hamiltoniano.]]
Un '''ciclo''' es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un '''ciclo hamiltoniano''' tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del [[Louvre]]), lo idóneo sería recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas los corredores o puertas entre ellas).

Se habla también de [[Camino hamiltoniano]] si no se impone regresar al punto de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo, un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un ciclo hamiltoniano en el grafo del [[dodecaedro]].

Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo hamiltoniano en [[tiempo polinómico]], siendo la búsqueda por fuerza bruta de todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos. Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o caminos hamiltonianos en grafos pequeños.

El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el conjunto de los [[NP-completo]]s.

[[Archivo:Grafo ejemplo 6.png|thumb|200px|Un grafo es '''plano''' si se puede dibujar sin cruces de aristas. El ''problema de las tres casas y los tres pozos'' tiene solución sobre el [[Toro (matemáticas)|toro]], pero no en el plano.]]

=== Grafos planos ===
{{AP|Grafo plano}}
Cuando un grafo o multigrafo se puede dibujar en un plano sin que dos segmentos se corten, se dice que es plano.

Un juego muy conocido es el siguiente: Se dibujan tres casas y tres pozos. Todos los vecinos de las casas tienen el derecho de utilizar los tres pozos. Como no se llevan bien en absoluto, no quieren cruzarse jamás. ¿Es posible trazar los nueve caminos que juntan las tres casas con los tres pozos sin que haya cruces?

Cualquier disposición de las casas, los pozos y los caminos implica la presencia de al menos un cruce.

Sea K<sub>n</sub> el [[grafo completo]] con ''n'' vértices, K<sub>n, p</sub> es el [[grafo bipartito]] de ''n'' y ''p'' vértices.

El juego anterior equivale a descubrir si el [[grafo bipartito completo]] K<sub>3,3</sub> es '''plano''', es decir, si se puede dibujar en un plano sin que haya cruces, siendo la respuesta que no. En general, puede determinarse que un grafo ''no'' es plano, si en su diseño puede encontrase una estructura análoga (conocida como ''menor'') a K<sub>5</sub> o a K<sub>3,3</sub>.

Establecer qué grafos son planos no es obvio, y es un problema que tiene que ver con [[topología]].

=== Coloración de grafos ===
{{AP|Coloración de grafos}}
Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G, ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático de G y se escribe como C (G).
Sea G un grafo no dirigido sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable λ, llamada <u>polinomio cromático de G</u>, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo de λ colores.

Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y e pertenece a Ε, entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el grafo se obtiene por [[contracción de aristas]].

Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0

Sea G=(V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G,λ) es 0.

Sea G=(V, E), con ''a'', ''b'' pertenecientes al conjunto de vértices ''V'' pero {a, b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.0000

==== Teorema de los cuatro colores ====
{{AP|Teorema de los cuatro colores}}
{{Imagen múltiple
 | posición_tabla = right
 | dirección      = horizontal
 | ancho          = 200
 | foto2    =  Grafo ejemplo 5 conecsi.png
| texto1 =  Mapa coloreado con 4-colores.
 | foto1    =  Grafo ejemplo 5 países.png
| texto2 = [[Grafo dual]] asociado al mapa con una [[Coloración de grafos|4-vértice coloración]].
}}
Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido:

Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.

El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por el país central '''a''' y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores, entonces en la corona alrededor de '''a''' alternan dos colores. Llegando al país '''h''' se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en '''i''' si se emplea el mismo método.

La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color distinto del de sus vecinos.

Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no es nada obvio.
Prueba de ello es que se han tenido que emplear ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó una demostración asistida por ordenador, lo que creó en su día una cierta polémica dentro de dicha comunidad.

== Caracterización de grafos ==

==== Grafos simples ====

Un grafo es ''simple'' si a lo sumo existe una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.

Un grafo que no es simple se denomina [[multigrafo]].

==== Grafos conexos ====

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde ''a'' hacia ''b''.

Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.

Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo [[Búsqueda en anchura]] (BFS) o [[Búsqueda en profundidad]] (DFS).

En términos matemáticos la propiedad de un grafo (fuertemente) conexo permite establecer una [[relación de equivalencia]] para sus vértices, la cual lleva a una partición de estos en "componentes (fuertemente) conexos", es decir, porciones del grafo, que son (fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
[[Archivo:Connexe et pas connexe.svg|400px|thumb|center|Grafo conexo y no conexo]]

==== Grafos completos ====
{{AP|Grafo completo}}
Un grafo es ''completo'' si existen aristas uniendo ''todos'' los pares posibles de vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista ''e'' que los une.

El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente <math>\mathbb{K}</math>, siendo <math>\mathbb{K}_n</math> el grafo completo de ''n'' vértices.

Un <math>\mathbb{K}_n</math>, es decir, grafo completo de <math>n</math> vértices tiene exactamente <math>\frac{n(n-1)}{2}</math> aristas.

La representación gráfica de los <math>\mathbb{K}_n</math> como los vértices de un polígono regular da cuenta de su peculiar estructura.

==== Grafos bipartitos ====
{{AP|Grafo bipartito}}
Un grafo G es bipartito si puede expresar como <math>G = \{V_1 \cup V_2, A\}</math> (es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:
* <math>V_1</math> y <math>V_2</math> son disjuntos y no vacíos.
* Cada arista de A une un vértice de V<sub>1</sub> con uno de V<sub>2</sub>.
* No existen aristas uniendo dos elementos de V<sub>1</sub>; análogamente para V<sub>2</sub>.

Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de la columna B.

=== Homeomorfismo de grafos ===
{{AP|Homeomorfismo de grafos}}
Dos grafos <math>G_1</math> y <math>G_2</math> son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir del mismo grafo con una sucesión de [[subdivisiones elementales]] de aristas.

=== Árboles ===
{{AP|Árbol (teoría de grafos)}}
[[Archivo:Grafo ejemplo 3 árbol.png|thumb|263px|Ejemplo de árbol.]]
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un '''árbol'''. En un grafo con '''n''' vértices, los árboles tienen exactamente '''n - 1''' aristas, y hay '''n<sup>n-2</sup>''' árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se encuentra en el [[análisis filogenético]], el de la filiación de entidades que derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también, por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.

=== Grafos ponderados o etiquetados ===

En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado ''valuación'', ''ponderación'' o ''coste'' según el contexto, y se obtiene así un '''grafo valuado'''.<br />
Formalmente, es un grafo con una función v: A → '''R<sub>+</sub>'''.

Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar ''n'' ciudades conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.<br />
Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de valuación mínima, pero sí para los caminos desde ''a'' hasta ''b'', sin más condición.

=== Diámetro ===
[[Archivo:Grafo ejemplo 7.png|thumb|263px|En la figura se nota que K<sub>4</sub> es plano (desviando la arista ''ab'' al exterior del cuadrado), que K<sub>5</sub> no lo es, y que K<sub>3</sub>,<sub>2</sub> lo es también (desvíos en gris).]]
En un grafo, la distancia entre dos vértices es el menor número de aristas de un recorrido entre ellos. El '''diámetro''', en una figura como en un grafo, es la mayor distancia de entre todos los pares de puntos de la misma.

El diámetro de los K<sub>n</sub> es 1, y el de los K<sub>n</sub>,<sub>p</sub> es 2. Un diámetro infinito puede significar que el grafo tiene una infinidad de vértices o simplemente que no es '''conexo'''. También se puede considerar el '''diámetro promedio''', como el promedio de las distancias entre dos vértices.

El mundo de Internet ha puesto de moda esa idea del diámetro: Si descartamos los sitios que no tienen enlaces, y escogemos dos páginas ''web'' al [[azar]]: ¿En cuántos ''clics'' se puede pasar de la primera a la segunda? El resultado es el diámetro de la Red, vista como un grafo cuyos vértices son los sitios, y cuyas aristas son lógicamente los enlaces.

En el mundo real hay una analogía: tomando al azar dos seres humanos del mundo, ¿En cuántos saltos se puede pasar de uno a otro, con la condición de sólo saltar de una persona a otra cuando ellas se conocen personalmente? Con esta definición, se estima que el diámetro de la humanidad es de... ¡ocho solamente!

Este concepto refleja mejor la complejidad de una red que el número de sus elementos.

{{VT|Glosario en teoría de grafos}}
== Algoritmos importantes ==
{{lista en columnas|3|
* [[Búsqueda en anchura|Algoritmo de búsqueda en anchura (BFS)]]
* [[Búsqueda en profundidad|Algoritmo de búsqueda en profundidad (DFS)]]
* [[Algoritmo de búsqueda A*]]
* [[Algoritmo del vecino más cercano]]
* [[Ordenación topológica|Ordenación topológica de un grafo]]
* [[Algoritmo de cálculo de los componentes fuertemente conexos de un grafo]]
* [[Algoritmo de Dijkstra]]
* [[Algoritmo de Bellman-Ford]]
* [[Algoritmo de Prim]]
* [[Algoritmo de Ford-Fulkerson]]
* [[Algoritmo de Kruskal]]
* [[Algoritmo de Floyd-Warshall]]
}}

== Investigadores relevantes en Teoría de grafos ==
{{lista en columnas|4|
* [[Noga Alon|Alon, Noga]]
* [[Claude Berge|Berge, Claude]]
* [[Béla Bollobás|Bollobás, Béla]]
* [[Graham Brightwell|Brightwell, Graham]]
* [[Fan Chung|Chung, Fan]]
* [[Gabriel Andrew Dirac|Dirac, Gabriel Andrew]]
* [[Edsger Dijkstra|Dijkstra, Edsger]]
* [[Jack Edmonds|Edmonds, Jack]]
* [[Paul Erdős|Erdős, Paul]]
* [[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]]
* [[Ralph Faudree|Faudree, Ralph]]
* [[Martin Charles Golumbic|Golumbic, Martin]]
* [[Ronald Graham|Graham, Ronald]]
* [[Frank Harary|Harary, Frank]]
* [[Percy John Heawood|Heawood, Percy John]]
* [[htp://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Kaufmann_(philosopher)|Kaufmann, Walter Arnold]]
* [[Dénes Kőnig|Kőnig, Dénes]]
* [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski, Kazimierz]]
* [[László Lovász|Lovász, László]]
* [[Jaroslav Nešetřil|Nešetřil, Jaroslav]]
* [[Alfréd Rényi|Rényi, Alfréd]]
* [[Gerhard Ringel|Ringel, Gerhard]]
* [[Neil Robertson (mathematician)|Robertson, Neil]]
* [[Paul Seymour (mathematician)|Seymour, Paul]]
* [[Endre Szemerédi|Szemerédi, Endre]]
* [[Robin Thomas (mathematician)|Thomas, Robin]]
* [[Carsten Thomassen|Thomassen, Carsten]]
* [[Pál Turán|Turán, Pál]]
* [[W. T. Tutte|Tutte, W. T.]]
* [[Hassler Whitney|Whitney, Hassler]]
}}

== Véase también ==
* [[Grafo]]
* [[Anexo:Galería de grafos]]
* [[Teorema de König (teoría de grafos)]]

== Referencias ==
{{listaref}}Czumaj, A., Jansen, K., Meyer auf der Heide, F., & Schiermeyer, I. (2006). Algorithmic Graph Theory. ''Oberwolfach Reports'', 379–460.

Hinz, A. M. (2012). Graph theory of tower tasks. In ''Behavioural Neurology'' (Vol. 25, pp. 13–22).

Lohmann, G., Margulies, D. S., Horstmann, A., Pleger, B., Lepsien, J., Goldhahn, D., … Turner, R. (2010). Eigenvector centrality mapping for analyzing connectivity patterns in fMRI data of the human brain. ''PLoS ONE'', ''5''(4). <nowiki>http://doi.org/10.1371/journal.pone.0010232</nowiki>

Pavlopoulos, G. a, Secrier, M., Moschopoulos, C. N., Soldatos, T. G., Kossida, S., Aerts, J., … Bagos, P. G. (2011). Using graph theory to analyze biological networks. ''BioData Mining'', ''4''(1), 10. Retrieved from <nowiki>http://www.biodatamining.org/content/4/1/10</nowiki>

Rocca, M. A., Valsasina, P., Meani, A., Falini, A., Comi, G., & Filippi, M. (2014). Impaired functional integration in multiple sclerosis: a graph theory study. ''Brain Structure and Function'', 115–131. <nowiki>http://doi.org/10.1007/s00429-014-0896-4</nowiki>

== Enlaces externos ==
{{commonscat|Graph theory}}
* [http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/36487 Sobre los grafos VPT y los grafos EPT]. Mazzoleni, María Pía. 30 de mayo de 2014.
<noinclude>{{AutoCategoría}}</noinclude>