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En la matemática (inicialmente estudiado en la geometría elemental y, en forma más rigurosa, en la geometría diferencial), la curva (o línea curva) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia o el óvalo, el cicloide; ejemplos de curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana. 

== Historia y definiciones ==
{| class="wikitable" border="1" cellspacing="1" cellpadding="5" align=center
|+'''Cronología'''<ref name = 50COSAS>{{cita libro
| título = 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas | autor = Tony Crilly | editorial = Ed. Ariel | id = ISBN 978-987-1496-09-9 | año = 2011
}}</ref>
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! Año
! Acontecimiento
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| [[300 a. C.|300&nbsp;a.&nbsp;C.]]
| [[Euclides]] define las [[sección cónica|secciones cónicas]] 
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| 250&nbsp;a.&nbsp;C.         
| [[Arquímedes]] investiga las curvas [[espiral]]es. 
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| 225&nbsp;a.&nbsp;C..
| [[Apolonio de Perge]] publica ''Cónicas''.
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| [[1704]]
| [[Isaac Newton]] clasifica las [[Ecuación de tercer grado|curvas cúbicas]].
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| [[1890]]
| [[Giuseppe Peano]] aplicando la definición de Jordán,<br /> demuestra que un cuadrado relleno también es una curva.
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| Década de 1920
| [[Pável Urysón]] y [[Karl Menger]] definen el concepto de curva a partir de la topología.
|}

[[Camille Jordan]] (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver [[teorema de la curva de Jordan]]). En [[Matemáticas/Geometría]], una '''curva''' en el n-espacio euclidiano es un conjunto <math>\mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n</math> que es la imagen de un intervalo '''Ι''' abierto bajo una aplicación continua <math>\mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n</math>, i.e:
{{ecuación|
<math>\mathcal{C} = \{\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}</math>
||left}}
donde suele decirse que (<math>\mathbf{x}, \Iota</math>) es una representación paramétrica o [[Ecuación paramétrica|parametrización]] de <math>\mathcal{C}</math>.

'''Curva''', en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de un ''camino γ'', que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición <ref>Christopher Clapham. Diccionarios Oxford -Complutense Matemáticas. ISBN 84-89784-56-6</ref> .


=== Curva plana ===
[[Archivo:RootAndPowerFunctions.svg|thumb|right|250px|En un sistema de [[coordenadas cartesianas]] se han representado las [[curva]]s de algunas raíces, así como de sus [[potenciación|potencias]], en el [[intervalo unitario|intervalo [0,1]]]. La diagonal, de ecuación [[función identidad|''y'' = ''x'']], es [[eje de simetría]] entre cada curva y la curva de su inversa.]]
Una '''curva plana''' es aquella que reside en un solo [[Plano (geometría)|plano]] y puede ser abierta o cerrada. La [[representación gráfica de una función]] [[función real|real]] de una variable real es una curva plana.<ref>{{MathWorld |id=PlaneCurve |title=Plane Curve}}</ref>