Ver el código de «Estadística/Variables aleatorias multidimensionales»

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<noinclude>==</noinclude><font size="4">'''Beispiel für mehrdimensionale Zufallsvariablen'''</font><noinclude>==</noinclude>

[[Bild:TQM.png|400px|thumb|Gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Qualitätskontrolle X und Reklamationskosten Y]]
[[Bild:TQMGrafik.png|400px|thumb|Gemeinsame Wahrscheinlichkeit von Qualitätskontrolle X und Reklamationskosten Y]]

In einer Studie über Total Quality Management wurde eine umfangreiche Befragung bei europäischen Produktionsbetrieben durchgeführt. Man erfasste unter anderem den Aufwand für Qualitätskontrolle während der laufenden Produktion, anteilig zu den Produktionskosten, und die Aufwendungen für Reklamationen, anteilig am Umsatz. 

Wir definieren die Zufallsvariablen:  

X: Anteilige Kosten der Qualitätskontrolle [%]. Y: Anteilige Kosten der Reklamationen [%].

Es ergibt sich unten die '''gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle''' mit der iten Zeile (i = 1, ... , n) und jten Spalte (j = 1, ... , m), die auch grafisch dargestellt ist. Man sieht, wie bei steigendem Aufwand der Qualitätskontrolle die Ausgaben für die Reklamationen sinken.

Die '''gemeinsame Wahrscheinlichkeit ''' P(X = 5 ∧ Y = 10) =  0,05 wird bezeichnet als f<sub>X,Y</sub>(5;10) .

Die spalten- bzw. zeilenweisen Summen der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten ergeben die '''Randwahrscheinlichkeiten''' oder auch '''Einzelwahrscheinlichkeiten''' der Zufallsvariablen X bzw. Y.

Es ergeben sich also für diese beiden Variablen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen

{|
|
{| border=2
| align="right" |
x<sub>i</sub>
| align="right" |
0%
| align="right" |
5%
| align="right" |
10%
|----
| align="right" |
f<sub>X</sub>(x<sub>i</sub>)
| align="right" |
0,4
| align="right" |
0,2
| align="right" |
0,4
|}		
|
{| border=2
| align="right" |
y<sub>j</sub>
| align="right" |
0%
| align="right" |
5%
| align="right" |
10%
| align="right" |
15%
|----
| align="right" |
f<sub>Y</sub>(y<sub>j</sub>)
| align="right" |
0,2
| align="right" |
0,2
| align="right" |
0,2
| align="right" |
0,4
|}
|}
			
Die Einzelwahrscheinlichkeit berechnet sich beispielsweise als 

:<math> P(X = x_1) = f_X(x_1) = \sum_{j=1}^m f_{X,Y}(x_1;y_j)\quad , </math>

also hier 

:<math> P(X = 0) = f_X(0) = 0 + 0 + 0{,}1 + 0{,}3 = 0{,}4 \quad . </math>

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<div style="padding: 2em 0em 0em 0em">
:[[Mathematik: Statistik: Abhängigkeit von Zufallsvariablen|&darr;Abhängigkeit mehrdimensionaler Zufallsvariablen]]
:[[Mathematik: Statistik: Zufallsvariablen|&uarr;Zufallsvariablen]]
:[[Mathematik: Statistik|&uarr;&uarr;Inhaltsverzeichnis Statistik]]
</div>
</noinclude>
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