Ver el código de «Estadística/Desigualdad de Bienaymé-Tschebyschew»

<!--
Mit der [[w:Tschebyschow-Ungleichung|Ungleichung von Tschebyschew]] oder Biennaymé-Tschebyschew kann man Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung abschätzen. Benötigt werden als Information der Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen, die im Allgemeinen geschätzt werden müssen. 

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

:<math>P(|X-EX|  \ge \epsilon) \le \frac{\operatorname{Var}X}{\epsilon^2}</math> .

Besser kann man sich die Beziehung vorstellen, wenn man die Betragsungleichung ausschreibt :

:<math>P(X \le EX - \epsilon \or X \ge EX + \epsilon) \le \frac{\operatorname{Var}X}{\epsilon^2}</math>

Diese Abschätzung ist naturgemäß sehr grob und kann manchmal nichtssagende Ergebnisse liefern.

<noinclude>==</noinclude><font size="4">'''Beispiel'''</font><noinclude>==</noinclude>

Es ist bekannt, dass ein Kaffeeautomat im Durchschnitt 250ml Kaffee ausschenkt mit einer Varianz von 100 ml<sup>2</sup>. Eine Tasse gilt als korrekt befüllt, wenn ihr Inhalt nicht mehr als 30 ml vom Durchschnitt abweicht. Der Anteil der inkorrekt befüllten Tassen beträgt höchstens

:<math>P(|X-250|  \ge 30) \le \frac{100}{30^2} =   \frac {1}{9}.</math>

bzw.

:<math>P(X \le EX - 30 \or X \ge EX + 30) \le \frac {100}{30^2} = \frac {1}{9}</math> .

Umgekehrt gilt dann auch

:<math>P(EX - \epsilon < X < EX + \epsilon) > 1 - \frac{\operatorname{Var}X}{\epsilon^2}</math>

bzw.

:<math> P(|X-EX|  < \epsilon) > 1 - \frac{\operatorname{Var}X}{\epsilon^2} </math> .

Also wäre der Anteil der korrekt befüllten Tassen mindestens 8/9.

<noinclude>
<div style="padding: 2em 0em 0em 0em">
:[[Mathematik: Statistik: Mehrdimensionale Zufallsvariablen|&darr;&nbsp;&nbsp;Mehrdimensionale Zufallsvariablen]]
:[[Mathematik: Statistik: Stetige Zufallsvariablen|&uarr;&nbsp;&nbsp;Stetige Zufallsvariablen]]
:[[Mathematik: Statistik|&uarr;&uarr;&nbsp;Inhaltsverzeichnis Statistik]]
</div>
</noinclude>
-->