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;Mathematik auf Deutsch - 31
   
== BM1501 - BM1510 ==

BM1501 
:Einfacher Dreisatz
:---
:* Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je mehr A, umso mehr B.“  vor (direkte Proportionalität): Beim Verdoppeln (Verdreifachen, ...) von A wird auch B verdoppelt (verdreifacht, ...).
:* Gegeben ist ein Verhältnis von <math>a</math> Einheiten einer Größe A zu <math>b</math> Einheiten einer Größe B.
:* Gefragt wird nach der Anzahl <math>x</math> Einheiten der Größe B, die in demselben Verhältnis zu <math>c</math> Einheiten von A stehen.

:In einer Tabelle sind die „gleichartigen“ Werte untereinander zu schreiben:
:{| class=wikitable
|- align="center"
|Größe A	|| Größe B
|- align="center"
|<math>a</math>	|| <math>b</math>
|- align="center"
|<math>c</math>	|| <math>x</math>
|}


BM1502
:Inhaltliches Lösen des Dreisatzes
:---
:Die Dreisatzaufgabe lässt sich sehr einfach in drei Denkschritten lösen:
:1.) <math>a</math> Einheiten von A entsprechen <math>b</math> Einheiten von B.
:2.) Einer Einheit von A entsprechen <math>b / a</math> Einheiten von B.
:3.) <math>c</math> Einheiten von A entsprechen also <math>x = c\cdot b /a</math> Einheiten von B.

:In der Tabelle wird eine zusätzliche Zeile eingefügt. In beiden Tabellenspalten wird mit demselben Wert dividiert bzw. multipliziert. 
:{| class=wikitable
|- align="center"
|Größe A|| Größe B || Rechenschritt
|- align="center"
|<math>a</math>	|| <math>b</math> || <math>\div a</math>
|- align="center"
|<math>1</math>	|| <math>b\div a</math> || <math>\cdot c</math>
|- align="center"
|<math>c</math>	|| <math>c\cdot (b\div a)</math> ||
|}

:Beim Rechnen entstehende Brüche werden in jedem Schritt gekürzt.
:---
:Beispiel:
:In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden? 
:Es gilt:
::''3 zu 240'' verhält sich wie ''7 zu "x"''

:Rechnung in Tabellenform:
:{| class=wikitable
|- align="center"
| || Zeit in h || Strecke in km || ''Rechne:''
|- align="center"
| 1. || 3 || 240 || : 3
|- align="center"
| 2. || 1 || 80 || * 7
|- align="center"
| 3. || 7 || '''560''' || &nbsp;
|}

:Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit.


BM1502
:Hintergrund des einfachen Dreisatzes
:---
:Verhältnisse gehören zu den elementaren mathematischen Kenntnissen und erscheinen bereits in "Euklids Elemente". Die Dreisatzregel wird (ohne Begründung) als ''regula de tri'' in den Rechenbüchern von Adam Ries (1532) angegeben. Die Bezeichnung Dreisatz rührt her von den drei gegebenen, in die Rechnung ''eingesetzten'' (in altem Deutsch: „gesatzten“) Größen. Heutige deutsche Schulbücher deuten die Bezeichnung oft als das „Lösen in drei Sätzen“. In algebraischer Schreibweise handelt es sich bei der Dreisatzaufgabe um eine Verhältnisgleichung: 
: <math>a:b=c:x</math>
:Durch Umstellen der Gleichung gewinnt man die Lösung <math>x = c\cdot b/a</math> 
:---
:Beispiel (einfacher und umgekehrter Dreisatz):
:Die folgenden Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (''ein Arbeitstag''). Im zweiten Beispiel beziehen sich die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (''eine bestimmte Menge Abraum'').

:a) 21 Lastwagen transportieren 35 Tonnen Abraum an einem Arbeitstag. Wie viel Tonnen Abraum schaffen in derselben Zeit 15 Lastwagen?
:* 21 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> 35 Tonnen
:* 15 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> x Tonnen
:* x = 15*35/21 = 25, also 25 Tonnen. 
:---
:b) 21 Lastwagen benötigen 35 Tage für den Abtransport einer bestimmten Menge Abraum. Wie viel Zeit benötigen hierfür 15 Lastwagen?
:* 21 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> 35 Tage
:* 15 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> x Tage
:* x = 35*21/15 = 49, also 49 Tage.


BM1503
:Dreisatz-Erweiterungen: 1.) Der umgekehrte Dreisatz:
:* Es liegt eine Gesetzmäßigkeit der Art „Je weniger A, umso mehr B.“ vor (indirekte Proportionalität)
:---
:Beispiel:
:21 Lastwagen benötigen 35 Tage für den Abtransport einer bestimmten Menge Abraum. Wie viel Zeit benötigen hierfür 15 Lastwagen?
:* 21 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> 35 Tage
:* 15 LKW <math>\mathrel{\widehat{=}}</math> x Tage
:* x = 35*21/15 = 49, also 49 Tage.
:---
:Beim Halbieren (Dritteln, ...) von A wird B verdoppelt (verdreifacht, ...).
:* Dabei ergeben <math>a</math> Einheiten einer Größe A mit <math>b</math> Einheiten einer Größe B ein konstantes Produkt.
:* Gefragt wird nach der Anzahl <math>x</math> Einheiten der Größe B, die mit <math>c</math> Einheiten von A dasselbe Produkt ergeben: <math>a \cdot b = c \cdot x</math>.

:In beiden Spalten der Tabelle werden entgegengesetzte Rechenoperationen ausgeführt:
:{| class=wikitable
|- align="center"
| ''Rechne:'' ||Größe A	|| Größe B || ''Rechne:''
|- align="center"
|''durch'' <math>a</math>|| <math>a</math> || <math>b</math> || ''mal'' <math>a</math>
|- align="center"
|''mal'' <math>c</math>|| <math>1</math> || <math>a \cdot b</math> || ''durch'' <math>c</math>
|- align="center"
| || <math>c</math> || <math>a \cdot b / c</math> ||
|}


BM1504
:Dreisatz-Erweiterungen: 2.) der verallgemeinerter Dreisatz:
:---
:Beim verallgemeinerten Dreisatz gehen Produkte mehrerer Größen in das Verhältnis ein.
:---
:Beispiel (verallgemeinerter Dreisatz):
:2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?
:1.) 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
:2.) 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
:3.) 5 Kühe fressen in  6 h 30 kg Gras

:unter der Annahme, dass die Kühe über die ganze Zeit gleichmäßig viel Gras fressen.
:---
:Ausgehend von <math>a_0\cdot b_0\cdot c_0\ \mathrel{\widehat{=}}\ d_0</math> kann man auf zwei Wegen die Lösung des Problems <math>a_1\cdot b_1\cdot c_1\ \mathrel{\widehat{=}}\ x</math> bestimmen. 
:Der einfache Dreisatz ist mehrfach anzuwenden (man geht zuerst von <math>a_0</math> zu <math>a_1</math> über, dann von <math>b_0</math> zu <math>b_1</math> und schließlich von <math>c_0</math> zu <math>c_1</math>). 
:Alternativ können alle Schritte auch gleichzeitig ausgeführt werden:
:1.) <math>a_0\cdot b_0\cdot c_0\ \mathrel{\widehat{=}}\ d_0</math>
:2.) <math>1\ \mathrel{\widehat{=}}\ \frac{d_0}{a_0\cdot b_0\cdot c_0} </math>
:3.) <math>x\ \mathrel{\widehat{=}}\ \frac{d_0\cdot a_1\cdot b_1\cdot c_1}{a_0\cdot b_0\cdot c_0}</math>


BM1505
:Der durchschnittliche Ernteertrag bei Reis betrug 1985 in Vietnam 6000&nbsp;kg je Hektar, 2015 rund 7200&nbsp;kg/ha. Wir wollen die Erträge vergleichen. Dazu könen wirdie Differenz der zahlen bilden, die die Erträge angeben. Bei Berücksichtigung der Einheiten stellen wir fest: 1985 wurden je Hektar 1200&nbsp;kg mehr geerntet als im Jahre 2015.
:Wir können aber auch den Quotienten der beiden Zahlen bilden und erhalten dann <math> \tfrac{6000}{7200} </math>, anders geschrieben 6000&nbsp;:&nbsp;7200. Diesen Quotienten können wir kürzen:
:<math> \tfrac{6000}{7200} </math> = <math> \tfrac{5}{6} </math>.
:Wir sagen: Die Erträge der Jahre 1985 und 2015 '''verhalten sich wie 5 zu 6'''.
:Den '''Quotienten <math> \tfrac{5}{6} </math>''' bzw. ''' 5 : 6''' (lies: 5 zu 6) nennen wir das '''Verhältnis''' dieser Ernteerträge.


BM1506
:Ironman ist ein geschützter Markenname von Triathlon-Wettkämpfen.
:'''Triathlon''' ist eine Ausdauersportart, bestehend aus einem Mehrkampf der Disziplinen Schwimmen, Radfahren und Laufen, die nacheinander und in genau dieser Reihenfolge zu absolvieren sind. Die Besonderheit dieses Sports besteht darin, dass eine bestimmte Strecke mit unterschiedlichen Fortbewegungsmitteln so schnell wie möglich zurückzulegen ist, wobei die Uhr auch bei zeitlichen Unterbrechungen wie z. B. den Wechseln zwischen den Disziplinen weiter läuft.

:Beim '''Triathlon''' gibt es unterschiedliche Wettkampfdistanzen. Die Wettkampfstrecken sind in der Regel nicht offiziell vermessen und können auf Grund von örtlichen Gegebenheiten in den einzelnen Teildisziplinen um ± 10 % von den Standardstrecken abweichen.

:Beim ''Challenge Roth'' bestehen die Wettkampfdistanzen aus 3,8&nbsp;km Schwimmen, 180&nbsp;km Radfahren und einem Marathonlauf über 42,2&nbsp;km.
:Dabei hat Jan Frodeno 2016 mit 7:35:39&nbsp;h eine Weltbestzeit aufgestellt.


BM1507
:Wie viel sind 7:35:39&nbsp;h in Stunden umgerechnet?
:Sind es:
:a) 7,5 h
:b) 7,2654 h
:c) 7,8393 h
:d) 7,4611 h
:e) 7,3539 h
:f) 7,6120 h
:g) 7,5556 h
:Oder sind alle 7 vorgegebenen Möglichkeiten falsch?
:Welche Zahl kommt dem Wert am nächsten?
:---
:Umrechnung von Minuten in Stunden
:1 h = 60 min
:0,5 h = 30 min
:<math> \tfrac{1}{2} </math> h = <math> \tfrac{60}{2} </math> min
:---
:6 min = 0,1 h &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 10
:(6 * 10) min = (0,1 * 10) h
:60 min = 1 h
:---
:1 min = <math> \tfrac{1}{60} </math> h &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60
:(1 * 60) min = 1 h
:60 min = 1 h &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60
:<math> \tfrac{60}{60} </math> min = <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:1 min = <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:---
:7 min = x h
:(1 * 7) min = (7 * <math> \tfrac{1}{60} </math>) h
:7 min = (7 * <math> \tfrac{7}{60} </math>) h
:7 : 60 = 0,11<span style="text-decoration:overline;">6</span>
:7 min = 0,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> h
:---
:3:07 h = 3,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> h
:---
:4:70 h = x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// ?


BM1508
:Umrechnung von Sekunden in Minuten
:60 s = 1 min &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60
:1 s = <math> \tfrac{1}{60} </math> min &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60
:60 s = 1 min
:---
:30 s = 30 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:30 s = <math> \tfrac{30}{60} </math> min
:30 : 60 = 0,5
:30 s = 0,5 min
:---
:18 s = 18 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:18 s = <math> \tfrac{18}{60} </math> min
:18 : 60 = 0,3
:18 s = 0,3 min
:---
:122 s = 122 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:122 s = <math> \tfrac{122}{60} </math> min
:122 : 60 = 2,0<span style="text-decoration:overline;">3</span>
:122 s = 2,0333 min
:---
:Umrechnung von Sekunden in Stunden
:122 s = x h
:Wir rechnen zuerst in Minuten um. ERst danach rechnen wir die Minuten in Stunden um.
:122 s = 122 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:122 s = 2,0333 min
:1 min = <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:2,0333 min = 2,0333 * <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:2,0333 min = <math> \tfrac{2,0333}{60} </math> h
:2,0333333333 : 60 = 0,33<span style="text-decoration:overline;">8</span>
:2,0333 min = 0,33<span style="text-decoration:overline;">8</span>
:122 s = 2,0333 min = 0,33<span style="text-decoration:overline;">8</span>
:122 s = 0,33<span style="text-decoration:overline;">8</span>


BM1509
:Die Bestzeiten beim ''Challenge Roth'' in den unterschiedlichen Disziplinen betrugen bei den Männern für Schwimmen 0:43:35&nbsp;h, für Radfahren 4:08:07&nbsp;h und für Laufen 2:36:49&nbsp;h.
:----
:Welche Durchschnittsgeschwindigkeit wurden beim Schwimmen erzielt? Gib die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h an!
:Die Wettkampfdistanzen beim Schwimmen betrug 3,8 km.
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1507 a)
|-
|
 
:Schwimmen 0:43:35&nbsp;h
:Da wir die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h suchen, müssen wir die Zeitangabe 0:43:35&nbsp;h in Stunden umrechnen.
:60 s = 1 min &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60
:1 s = <math> \tfrac{1}{60} </math> min  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 35
:35 s = 35 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:35 s = <math> \tfrac{35}{60} </math> min
:35 s = 0,58<span style="text-decoration:overline;">3</span> min
:---
:43 min + 0,58<span style="text-decoration:overline;">3</span> min = 43,58<span style="text-decoration:overline;">3</span> min
:60 min = 1 h &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60; * 43,5833333
:43,5833333 min = 43,5833333 min * <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:43,5833333 min =  <math> \tfrac{43,5833}{60} </math> h
:43,58<span style="text-decoration:overline;">3</span> min = 0,7263<span style="text-decoration:overline;">8</span> h
:Schwimmen 0:43:35&nbsp;h = 0,7263<span style="text-decoration:overline;">8</span> h
:---
:Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h
:v = s/t
:v = 3,8 km : 0,7263<span style="text-decoration:overline;">8</span> h
:v = 5,2314 km/h (Durchschnittsgeschwindigkeit beim Schwimmen)

|}


BM1510
:Die Bestzeit beim ''Challenge Roth'' betrugen bei den Männern für Radfahren 4:08:07&nbsp;h.
:----
:Welche Durchschnittsgeschwindigkeit wurden beim Radfahren erzielt? Gib die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h an!
:Die Wettkampfdistanzen beim Radfahren betrug 180 km.

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1510
|-
|
 
:Radfahren 4:08:07&nbsp;h
:1. Sekunden in Minuten umrechnen:
:7 s = 7 * <math> \tfrac{1}{60} </math> min
:7 : 60 = 0,11<span style="text-decoration:overline;">6</span>
:7  s = 0,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> min
:8 min + 0,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> min = 8,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> min
:---
:2. Minuten in Stunden umrechnen:
:8,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> min = 8,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> * <math> \tfrac{1}{60} </math> h
:8,11<span style="text-decoration:overline;">6</span> min = 0.1352<span style="text-decoration:overline;">7</span> h
:4 h + 0.1352<span style="text-decoration:overline;">7</span> h = 4.1352<span style="text-decoration:overline;">7</span> h
:4:08:07&nbsp;h = 4.1352<span style="text-decoration:overline;">7</span> h
:---
:v = s : t
:s = 180 km
:v = 180 km : 4.1352<span style="text-decoration:overline;">7</span> h
:v = 43,5279 <math> \tfrac{km}{h} </math>

|}


== BM1511 - BM1520 ==

BM1511
:Die Bestzeit beim ''Challenge Roth'' betrug bei den Männern für Laufen 2:36:49&nbsp;h.
:----
:Welche Durchschnittsgeschwindigkeit wurden beim Laufen erzielt? Gib die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h an!
:Die Wettkampfdistanzen beim Laufen (Marathonlauf) betrug 42,2 km.

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1511
|-
|
 
:Laufen 2:36:49&nbsp;h
:49 s in Minuten umrechnen:
:49 s = 49 : 60 min
:49 s = 0,81<span style="text-decoration:overline;">6</span> h
:---
:Minuten in Stunden umrechnen:
:36,81<span style="text-decoration:overline;">6</span> = 36,8166666666 : 60 h
:0,6136<span style="text-decoration:overline;">1</span> h
:---
:Alles addieren:
:2:36:49&nbsp;h = 2,6136<span style="text-decoration:overline;">1</span> h
:---
:Durchschnittsgeschwindigkeit:
:s = 42,2 km
:v = s : t
:v = (42,2 : 2,6136<span style="text-decoration:overline;">1</span>) <math> \tfrac{km}{h} </math>
:v = 16,1462  <math> \tfrac{km}{h} </math>

|}


BM1512
:Die Weltbestzeit  beim ''Challenge Roth'' betrug 2016  für die Gesamtstrecke 7:35:39&nbsp;h.
:----
:Welche Durchschnittsgeschwindigkeit wurde erzielt? Gib die Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h an!
:Die Wettkampfdistanz setzt sich zusammen aus 3,8 km Schwimmen, 180 km Radfahren und einem Marathonlauf über 42,2 km.

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1512
|-
|
 
:7:35:39&nbsp;h
:39 s = 39 : 60
:39 s = 0,65 min
:35,39 min = 35,39 : 60
:35,39 min = 0,5898<span style="text-decoration:overline;">3</span> h
:7:35:39&nbsp;h = 7,5898<span style="text-decoration:overline;">3</span> h
:---
:s = 3,8 + 180 + 42,2 km = 226 km
:v = s/t
:v = 226/7,5898333333333 <math> \tfrac{km}{h} </math>
:v = 29,7766749 <math> \tfrac{km}{h} </math>
:v ≈ 29,7767 <math> \tfrac{km}{h} </math>

|}


BM1513
:In welchem Verhältnis stehen die Durchschnittsgeschwindigkeiten aus den vorhergehenden Übungen BM1509 bis BM1511?
:Runde die Durchschnittsgeschwindigkeiten vorher auf ganze Fünfer!
:a) Schwimmen : Radfahren
:b) Schwimmen : Laufen
:c) Radfahren : Laufen

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1510
|-
|
 
:Schwimmen: 5,2314 <math> \tfrac{km}{h} </math> ≈ 5 km/h
:Radfahren: 43,5279 <math> \tfrac{km}{h} </math> ≈ 45 km/h
:Laufen: 16,1462  <math> \tfrac{km}{h} </math> ≈ 15 km/h
:---
:a) Schwimmen : Radfahren
:<math> \tfrac{5 km/h}{45 km/h} </math> =  <math> \tfrac{1}{9} </math>
:---
:b) Schwimmen : Laufen
:<math> \tfrac{5 km/h}{15 km/h} </math> =  <math> \tfrac{1}{3} </math>
:---
:c) Radfahren : Laufen
:<math> \tfrac{45 km/h}{15 km/h} </math> =  <math> \tfrac{3}{1} </math>

|}


BM1514
:Gib das Verhältnis der Zahlen 5,6 und 8,4 an!
:---
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1514
|-
|
 
:5,6 : 8,4 = <math> \tfrac{5{,}6}{8{,}4} </math> = <math> \tfrac{56}{84} </math> = <math> \tfrac{2}{3} </math> = 2 : 3
:lies: 2 zu 3

|}


BM1515
:Gib das Verhältnis der Zahlen <math> \tfrac{4}{3} </math> und <math> \tfrac{5}{3} </math> an!
:---
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1515
|-
|
 
:<math> \tfrac{4}{3} </math> : <math> \tfrac{5}{3} </math> = <math> \tfrac{4}{3} </math> * <math> \tfrac{3}{5} </math> = <math> \tfrac{4 * 3}{3 * 5} </math> = <math> \tfrac{4}{5} </math> = 4 : 5 = 0,8

|}


BM1516
:Zwei Größenangaben können miteinander vergleichen weden, indem man den Quotienten ihrer Maßzahl bildet. Diesen Quotienten nennt man auch das '''Verhältnis''' dieser Zahlen. Dabei müssen Zahlenangaben für ein und dieselbe Größe in der gleichen Einheit verwendet werden.
:---
:Gib das Verhältnis der Strecken 4,6 m und 23 cm an!
:<math> \tfrac{4{,}6}{23} </math> FALSCH, denn <math> \tfrac{4{,}6 m}{23 cm} </math> hat unterschiedliche Einheiten
:Sondern:
:<math> \tfrac{460 cm}{23 cm} </math> = <math> \tfrac{20 * 23 cm}{23 cm} </math> = 20
:---
:Es ist üblich, die Verhältnisse mit möglichst kleinen natürlichen Zahlen anzugeben. 
:Verhältnisse sind als Quotienten gebrochener Zahlen selbst gebrochene Zahlen. Sie können also auch als Dezimalzahl geschreiben werden.


BM1517
:Bilde das Verhältnis der folgenden Zahlen!
:---
:a) 6 und 4
:b) <math> \tfrac{4}{7} </math> und <math> \tfrac{5}{7} </math>
:---
:c) <math> \tfrac{34}{12} </math> und <math> \tfrac{17}{3} </math>
:d) 0,72 und 0,48


BM1518
:Bilde das Verhältnis der folgenden Zahlen!
:---
:a) 4 und 6
:b) <math> \tfrac{3}{8} </math> und <math> \tfrac{5}{8} </math>
:---
:c) <math> \tfrac{39}{16} </math> und <math> \tfrac{13}{4} </math>
:d) 0,84 und 0,36


BM1519
:Ein Auto fährt auf der Autobahn eine längere Strecke. Seine Geschwindigkeit ist nahezu gleichbleibend (konstant) und beträgt 120 <math> \tfrac{km}{h} </math>.
:Jade Maßzahl der ersten Größe (Fahrzeit) ist genau eine Maßzahl der zweiten Größe (zurückgelegte Strecke) zugeordnet wroden. Wenn wir gleichbleibende Geschwindigkeit voraussetzen (in Wirklichkeit handelt es sich dabei nur um einen Durchschnittswert), besteht Proportionalität zwischen der zurückgelegten Strecke s und der hierfür erforderlichen Zeit t.
:<math>s \sim t</math> (s ist propotional zu t) (Die Strecke s ist proportional zur Zeit t.)
:Der Proportionalitätsfaktor ist gleich 120. Damit wird die Proportionalität durch die Gleichung 
:s = 120 * t ausgedrückt.
:Wir erkennen, dasss der Proportionalitätsfaktor gleich der Maßzahl der Geschwindigkeit in Kilometer je Stunde misst.
:Messen wir dagegen die Geschwindigkeit in Kilometer je Minute, so wird die Proportionalität wegen <math> \tfrac{120 km}{60 km} </math> = 2 <math> \tfrac{km}{min} </math> durch die Gleichung
:s = 2 * t angegeben.
:---
:Wir sehen, dass zwei verschiedene Zahlenwertgleichungen denselben physikalischen Sachverhalt beschreiben. Benutzt man Zahlenwertgleichungen, so ist man an bestimmte Einheiten gebunden. 
:Beispielsweise ist inder Gleichung s = 120 * t der zahlenwert der zeit in Stunden, in der Gleichung
:2 = 2 * t der zahlenwert der zeit in Minuten einzusetzen, wenn man den Zahlenwert des Weges in Kilometern erhalten will.


BM1520
:[[File:Ressort de traction.png|thumb|Schraubenfeder]]
:Bei einem Versuch wurde eine Schraubenfeder aus Stahl gedehnt. Und zwar wurde die Feder schrittweise stärker belastet und dabei jeweils die Verlängerung gegenüber der unbelasteten Feder gemessen.
:Es ergab sich die folgende Tabelle:
:(N Newton)

:{| class="wikitable"
! align="center" |
Belastung F in N
| align="center" | 
50
| align="center" | 
100
| align="center" |
150
| align="center" |
200
| align="center" |
300
| align="center" |
400
|----
! align="center" |
Verlängerung L in cm
| align="center" |
1,5
| align="center" |
3,0
| align="center" |
4,6
| align="center" |
6,1
| align="center" |
9,2
| align="center" |
13,1
|----
|}

:Jeder Maßzahl der ersten Größe (Belastung) ist genau eine Maßzahl der zweiten Größe (Verlängerung) zugeordnet.
:Wir prüfen, ob Proportionalität vorliegt:
:Wir bilden die Verhältnisse <math> \tfrac{F}{L} </math> aus einander zugeordneten Maßzaheln.
:---
:<math> \tfrac{50}{1{,}5} </math> ≈ 33,3 ≈ 33
:---
:<math> \tfrac{100}{3} </math> ≈ 33,3 ≈ 33
:---
:<math> \tfrac{150}{4{,}6} </math> ≈ 32,6 ≈ 33
:---
:<math> \tfrac{200}{6{,}1} </math> ≈ 32,8 ≈ 33
:---
:<math> \tfrac{300}{9{,}2} </math> ≈ 32,6 ≈ 33
:---
:<math> \tfrac{400}{13{,}1} </math> ≈ 30,5
:---
:im Bereich bis 300 N liegt Proportionalität vor. Der Proportionalitätsfaktor beträgt bei der entsprechenden Einheit etwa 33 <math> \tfrac{N}{cm} </math> und besagt, dass sich die Feder durch jede zusätzlich Belastung mit 33 N jeweils um 1 cm verlängert.
:Die Abweichung, die bei der Bildung der Verhältnisse im Bereich von 50 N bis 300 N auftreten, sind auf Messungenauigkeiten zurückzuführen.
:Mit 400 N wurde die Schraubenfeder soffensichtlich überlastet. Die Feder dehnte sich übermäßig aus.
:--
:Für den Bereich von 50 N bis 300 N folgt:
:<math>F \sim L</math>.
:---
:Unter Verwendung des Proportionalitätsfaktors 33 <math> \tfrac{N}{cm} </math> gilt für diesen Bereich:
:F = 33 * L.

== BM1521 - BM1530 ==


BM1521 
:[[File:Antonov An-70 Ramenskoye Airport 2013 (528-01).jpg|thumb|Antonov An-70]]
:[[File:Air Berlin B737-700 Dreamliner D-ABBN.jpg|thumb|Boeing 737]]
:Verhältnisgleichungen
:---
:Eine ''Antonov An-70'' hat eine Reisegeschwindigkeit von 600 km/h.
:Eine ''Boeing 737''  hat eine Reisegeschwindigkeit von 900 km/h.
:Bei Geschwindigkeiten verhalten sich wie 900 : 600	 
:<math> \tfrac{900}{600} </math> = <math> \tfrac{90}{60} </math> = <math> \tfrac{45}{30} </math> = <math> \tfrac{9}{6} </math> = <math> \tfrac{3}{2} </math>
:Entsprechend können wir auch erweitern:
:<math> \tfrac{3}{2} </math> = <math> \tfrac{6}{4} </math> = <math> \tfrac{9}{6} </math> = <math> \tfrac{18}{12} </math> = <math> \tfrac{30}{20} </math> = <math> \tfrac{60}{40} </math> = <math> \tfrac{135}{90} </math> = ...
:Wir erhalten eine Kette gleicher Verhältnisse. Aus ihr wollen wir zwei beleibige herausgreifen, etwa <math> \tfrac{90}{60} </math> und <math> \tfrac{3}{2} </math>.
:Dann gilt folgende Gleichung:
:<math> \tfrac{90}{60} </math> = <math> \tfrac{3}{2} </math>.
:Wir lesen: „90 (verhält sich) zu 60 wie 3 zu 2.“
:Eine solche Gleichung wird '''Verhältnisgleichung''' (oder ''Proportion'') genannt.
:Die Verhältnisgleichung
::<math> \tfrac{90}{60} </math> = <math> \tfrac{3}{2} </math> oder in anderer Schreibweise 90 : 60 = 3 : 2
:ist eine wahre Aussage, denn beide Seiten dieser Gleichung stellen dieselbe gebrochene Zahl dar.
:Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem Produkt 60 * 2 multiplizeiren, erhalten wir wieder eine wahre Aussage.
:---
:<math> \tfrac{90 * 60 * 2}{60} </math> = <math> \tfrac{3 * 60 * 2}{2} </math>


BM1522
:Prüfe, ob die folgenden Verhältnissgleichungen wahre Aussagen sind!
:---
:a) 3 : 4 = 6 : 8
:b) 10 : 2 = 8 : 5
:---
:c) <math> \tfrac{3}{5} </math> = <math> \tfrac{15}{50} </math>
:d) <math> \tfrac{60}{12} </math> = <math> \tfrac{75}{15} </math>

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1522
|-
|
 
:a)
:3 : 4 = <math> \tfrac{3}{4} </math> = <math> \tfrac{3 * 2}{4 * 2} </math> = <math> \tfrac{6}{8} </math> = 6 : 8
:---
:b)
:10 : 2 = 5; 8 : 5 = 1,6; 5 ≠ 1,6;
:---
:c)
:<math> \tfrac{3}{5} </math> = <math> \tfrac{3 * 5}{5 * 5} </math> = <math> \tfrac{15}{25} </math> ≠  <math> \tfrac{15}{50} </math>
:---
:d)
:<math> \tfrac{60}{12} </math> = 5; <math> \tfrac{75}{15} </math> = 5
:<math> \tfrac{60}{12} </math> = <math> \tfrac{2 * 2 * 3 * 5}{2 * 2 * 3} </math>
:<math> \tfrac{75}{15} </math> = <math> \tfrac{3 * 5 * 5}{3 * 5} </math>

|}


BM1523
:Stellen zwei Verhältnisse a : b und c : d (<math> \tfrac{a}{b} </math> und <math> \tfrac{c}{d} </math>) (b, d ≠ 0) dieselbe gebrochene Zahl dar, so gilt die Verhältnisgleichung
:<math> \tfrac{a}{b} </math> = <math> \tfrac{c}{d} </math>
:bzw.
:a : b = c : d


BM1524
:Es ist die Verhältnisgleichung <math> \tfrac{x}{3} </math> = <math> \tfrac{8}{6} </math> 
:bzw. x : 3 = 8 : 6 zu lösen.
:---
:<math> \tfrac{x}{3} </math> = <math> \tfrac{8}{6} </math>
:<math> \tfrac{}{3} </math> * x = <math> \tfrac{8}{6} </math>  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : <math> \tfrac{}{3} </math>
:x = <math> \tfrac{3 * 8}{6} </math>
:x = <math> \tfrac{24}{6} </math>
:x = 4
:Probe:
:<math> \tfrac{4}{3} </math> = <math> \tfrac{8}{6} </math>
:<math> \tfrac{4}{3} </math> = 1,<span style="text-decoration:overline;">3</span>
:<math> \tfrac{8}{6} </math> = 1,<span style="text-decoration:overline;">3</span>


BM1525
:Es ist die Verhältnisgleichung <math> \tfrac{6}{x} </math> = <math> \tfrac{18}{3} </math> 
:bzw. 6 : x = 18 : 3 zu lösen.
:---
:<math> \tfrac{6}{x} </math> = <math> \tfrac{18}{3} </math>  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x
:6 = <math> \tfrac{18}{3} </math> * x  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : <math> \tfrac{18}{3} </math>
:6 * <math> \tfrac{3}{18} </math> = x
:1 = x
:x = 1
:Probe:
:<math> \tfrac{6}{1} </math> = <math> \tfrac{18}{3} </math>


BM1526
:Prüfe, ob die folgenden Verhältnisgleichungen wahre Aussagen sind!
:---
:a) <math> \tfrac{3}{4} </math> : 1 = 1<math> \tfrac{1}{2} </math> : 2
:b) <math> \tfrac{2{,}4}{1{,}5} </math> = <math> \tfrac{2{,}1}{1{,}4} </math>
:c) <math> \tfrac{2}{3} </math> : <math> \tfrac{3}{2} </math> = <math> \tfrac{1}{5} </math> : <math> \tfrac{3}{10} </math>


BM1527
:Prüfe, ob die folgenden Verhältnisgleichungen wahre Aussagen sind!
:---
:a) <math> \tfrac{3{,}3}{0,11} </math> = <math> \tfrac{3}{0{,}1} </math>
:b) <math> \tfrac{1}{3} </math> : <math> \tfrac{1}{4} </math> = <math> \tfrac{1}{5} </math> : <math> \tfrac{1}{6} </math>
:c) 10 : 1,2 = 25 : 3


BM1528
:Löse die folgenden Verhältnisgleichungen!
:---
:a) x : 15 = 4 : 12
:b) <math> \tfrac{8}{x} </math> = <math> \tfrac{24}{3} </math>
:---
:c) <math> \tfrac{x}{12} </math> = <math> \tfrac{5}{15} </math>
:d) 6 : x = 18 : 3


BM1529
:Löse die folgenden Verhältnisgleichungen!
:---
:a) 8 : 1 = 2 : x
:b) <math> \tfrac{5}{8} </math> : x = <math> \tfrac{5}{28} </math> : <math> \tfrac{8}{63} </math>
:---
:c) 4 : 9 = x : 36
:d) <math> \tfrac{3}{7} </math> : x = <math> \tfrac{3}{15} </math> : <math> \tfrac{7}{40} </math>


BM1530
:Löse die folgenden Verhältnisgleichungen!
:---
.a) x : <math> \tfrac{10}{7} </math> = <math> \tfrac{18}{15} </math> : <math> \tfrac{4}{3} </math>
:b) <math> \tfrac{9}{2} </math> : <math> \tfrac{9}{7} </math> = x : <math> \tfrac{5}{7} </math>
:---
:c) x : <math> \tfrac{9}{7} </math> = <math> \tfrac{16}{3 } </math> : <math> \tfrac{4}{3} </math>
:d) <math> \tfrac{5}{2} </math> : <math> \tfrac{5}{7} </math> = x : <math> \tfrac{9}{7} </math>

== BM1531 - BM1540 ==


BM1531 
:Zwischen den beiden Größen Arbeiszeit t und Anzahl n der Motoren in der Tabelle besteht Proportionalität. Aus der zugehörigen Tabelle können wir entnehmen, dass das Verhältnis zweier beliebiger einander entspechender Werte n und t stets gleich 30 ist.
:Es gilt also n : t = 30.

:{| class="wikitable"
! align="center" |
Arbeitszeit t  
! align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;in h&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;1&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;2&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|----
! align="center" |
Anzahl der Motoren
! align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
30
| align="center" |
60
| align="center" |
90
| align="center" |
120
| align="center" |
150
| align="center" |
180
| align="center" |
210
| align="center" |
240
|----
|}

:Wenn wir dieses Verhältnis - also den Proportionalitätsfaktor - kennen, dann können wir für jede beliebig gegebene Arbeitszeit t die zugehörige Anzahl n der Motoren berechnen.
:---
:Wie viel Motoren werden in 5,5 Stunden montiert?
:Ansatz: Die gesuchte Anzahl der Motoren soll n sein.
:Dann gilt: n : 5,5 = 30
:Wir lösen diese Gleichung.
:n : 5,5 = 30  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 5,5
:n = 30 * 5,5
:n = 165
:Antwort: In 5,5 h werden 165 Motoren gefertigt.


BM1532
:Wenn wir schon vorher wissen, dass zwei Größen zueinander proportional sind, dann benötigen wir keine größere Tabelle, um den Proportionalitätsfaktor zu ermitteln. Dazu genügen dann schon zwei einadner entsprechende Maßzahlen der beiden Größen.
:---
:Angenommen, es werden 270 Motoren in 7 h montiert.
:Wie viel Motoren weden in 5,5 h montiert?
:Aus der Erfahrung wissen wir: Arbeitszeit und Arbeitsergebnis sind bei kontinuierlicher Arbeit zueinander proportional, denn bei doppelter (dreifacher) Arbeitszeit wird doppel (dreifach) so viel geschafft.


:{| class="wikitable"
! align="center" |
Arbeitszeit t 
! align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;in h&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;5,5&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;7&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|----
! align="center" |
Anzahl der Motoren
! align="center" |
&nbsp;&nbsp;&nbsp;n&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" |
n
| align="center" |
210
|----
|}

:Wegen der Proportionalität ergibt sich die Verhältnisgleichung
:<math> \tfrac{n}{5{,}5} </math> = <math> \tfrac{210}{7} </math>
:oder
:n : 5,5 = 210 : 7.
:---
:Die Zahl <math> \tfrac{210}{7} </math> ist der Proportionalitätsfaktor.
:Wir lösen die Gleichung.
:<math> \tfrac{n}{5{,}5} </math> = <math> \tfrac{210}{7} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 5,5
:n = 5,5 * <math> \tfrac{210}{7} </math>
:n = 165
:---
:Wir hätten aus der verkürzten Tabelle auch andere Verhältnisgleichungen aufstellen können, z.&nbsp;B.:
:5,5 : n = 7 : 210
:210 : 7 = n : 5,5
:n : 210 = 5,5 : 7
:Sie führen alle auf die selbe Gleichung
:7 * n = 210 * 5,5.
:Daraus ergibt sich nach Division durch 7 die Gleichung
:n = <math> \tfrac{210}{7} </math> * 5,5


BM1533
:Eine quaderförmige Platte aus Gussstahl von 45&nbsp;mm Dicke hat eine Masse von 3,5&nbsp;kg. Dabei ist die Platte zur Dicke proportional. Die Platte wird auf 40&nbsp;mm Dicke abgehobelt. Wie groß ist dann ihre Masse?
:---
:Ansatz:
:{| class="wikitable"
! align="center" |
Dicke in mm
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;45&nbsp;&nbsp;&nbsp;
| align="center" | 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;40&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|----
! align="center" |
Masse in kg
| align="center" |
3,5
| align="center" |
x
|----
|}

:Überschlag:
:Die Dicke wird um ein Zehntel verringert. Also nimmt auch die Masse um etwa ein Zehntel ab, d.&nbsp;h. um etwas 0,35&nbsp;kg.
:---
:Verhältnisgleich:
:x : 40 = 3,5 : 4,5 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 40
:x = <math> \tfrac{3{,}5 * 40}{45} </math>
:x = <math> \tfrac{28}{9} </math>
:x = 3,<span style="text-decoration:overline;">1</span>
:Antwortsatz:
:Die Platte wiegt nach dem Abhobeln 3,1 kg.


BM1534
:Eine bestimmte Kettensäge (Motorsäge) soll laut Gebrauchtsanleitung mit einem Zweitaktgemisch im Verhältnis 1:33 (Zweitaktöl : Benzin) betrieben werden. 
:---
:a) Wie viel Liter Benzin muss man mit 1,5 l Öl mischen?
:b) Wie viel Liter Öl muss man mit 120 l Benzin mischen?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1534
|-
|
 
:a)
:1 L Öl : 33 L Benzin = 1,5 L Öl : x L Benzin
:<math> \tfrac{1}{33} </math> = <math> \tfrac{1{,}5}{x} </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 33
:x = 1,5 * 33
:x = 49,5 Liter Benzin
:---
:Oder:
:33 L Benzin : 1 L Öl = x L Benzin : 1,5 L Öl </math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 1,5
:33 * 1,5 = x
:49,5 = x
:x = 49,5
:---
:b)
:1 L Öl : 33 L Benzin = x L Öl : 120 L Benzin &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 120
:120 : 33 = x
:3,<span style="text-decoration:overline;">69</span> = x
:x ≈ 3,7 Liter Öl

|}


BM1535
:Ein bestimmtes Notstromaggregat (tragbares Stromaggregat) soll laut Gebrauchtsanleitung mit einem Zweitaktgemisch im Verhältnis 1:25 (Zweitaktöl : Benzin) betrieben werden. 
:---
:a) Wie viel Liter Benzin muss man mit 3,8 l Öl mischen?
:b) Wie viel Liter Öl muss man mit 110 l Benzin mischen?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1535
|-
|
 
:a)
:1 : 25 = 3,8 : x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 25
:x = 3,8 * 25
:x = 95 Liter Benzin
:---
:b)
:1 : 25 = x : 110 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 110
:x = 100 : 25
:x = 4 Liter Öl

|}


BM1536
:Ein bestimmter Motorroller soll laut Gebrauchtsanleitung mit einem Zweitaktgemisch im Verhältnis 1:50 (Zweitaktöl : Benzin) betrieben werden. 
:---
:a) Wie viel Liter Benzin muss man mit 2,5 l Öl mischen?
:b) Wie viel Liter Öl muss man mit 180 l Benzin mischen?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1536
|-
|
 
:50 : 1 = x : 2,5 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 2,5
:x = 50 * 2,5
:x = 125 Liter Benzin
:---
:1 : 50 = x : 180  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 180
:x = 180 : 50
:x = 3,6 Liter Öl

|}


BM1537
:a)
:Welchen Höhenunterschied überwindet eine Treppe, deren Stufen eine Höhe von 15&nbsp;cm und eine Breite von 35&nbsp;cm haben, bei einer waagerechten Entfernung von 2,45&nbsp;m?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1537 a)
|-
|
 
:15 cm Höhe : 35 cm Breite = x cm Höhe : 2,45 cm Breite &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 2,45
:x = <math> \tfrac{15 * 2{,}45}{35} </math>
:x = 1,05 (FEHLER, denn hier wurde Meter mit Zentimeter vermischt: 2,45 m sind 245 cm)
:---
:Also noch mal:
:15 cm Höhe : 35 cm Breite = x cm Höhe : 245 cm Breite &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 245
:x = <math> \tfrac{15 * 245}{35} </math>
:x = 105 cm Höhe
:Antwortsatz:
:Bei einer waagerechten Entfernung von 2,45&nbsp;m ergibt sich ein Höhenunterschied von 1,05&nbsp;m.

|}

:---
:b)
:Welchen Höhenunterschied überwindet eine Treppe, deren Stufen eine Höhe von 18&nbsp;cm und eine Breite von 30&nbsp;cm haben, bei einer waagerechten Entfernung von 2,70&nbsp;m?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1537 b)
|-
|

:18 : 30 = x : 270 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 270
:x = <math> \tfrac{18 * 270}{30} </math>
:x = 162 cm
:Bei einer waagerechten Entfernung von 2,70&nbsp;m ergibt sich ein Höhenunterschied von 1,62&nbsp;m.

|}


BM1538
:Strompreis
:---
:55 kWh kosten 3,85 Euro.
:Wie viel kosten 75 kWh?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1538
|-
|
 
:Version 1
:3,85 : 55 = x : 75 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 75
:x = (3,85 : 55) * 75
:x = 5,25 Euro
:75 kWh kosten 5,25 Euro.
:---
:Oder Version 2:
:55 : 3,85 = 75 : x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 3,85; : 55
:x = (75 * 3,85) : 55
:x = 5,25
:75 kWh kosten 5,25 Euro.

|}
 


BM1538
:Gaspreis
:---
:73 m<sup>2</sup> Gas kosten 48,92 Euro.
:Wie viel Euro kosten 106 m<sup>2</sup> Gas?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1538
|-
|
 
:Variante 1:
:48,92 : 73 = x : 106 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 106
:48,92 : 73 * 106 = x
:x = 71,03 Euro
:---
:Oder Variante 2:
:73 : 48,92 = 106 : x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 48,92; : 73
:x = (106 * 48,92) : 73
:x = 71,03 Euro

|} 


BM1539
:Für 800 Broschüren benötigt man 68,8&nbsp;kg Papier.
:Wie viel Kilogramm Papier wrden für 1200 Broschüren verbraucht?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1539
|-
|
 
:68,8 : 800 = x : 1200 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 1200
:x = <math> \tfrac{68{,}8 * 1200}{800} </math>
:x = 103,2 
:Für 1200 Broschüren werden 103,2&nbsp;kg Papier benötigt.

|}


BM1540
:15 Liter Dieselkraftstoff wiegen bei 15 °C 12,45 kg.
:Wie groß ist die Masse von 35 Liter Diesel?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1540
|-
|
 
:15 : 12,45 = 35 : x
:x = <math> \tfrac{35 * 12{,}45}{15} </math>
:x = 29,05 kg
:35 Liter Diesel haben eine Masse von 29,05 kg.
:35 Liter Diesel wiegen 29,05 kg.

|}

== BM1541 - BM1550 ==

BM1541
:In 100 m<sup>3</sup> sind 21 m<sup>3</sup> Sauerstoff enthalten. (Das ist ungefähr ein Fünftel. - Bitte MERKEN!)
:Wie viel Kubikmeter Sauerstoff sind in einem Raum mit folgenden Abmessungen (Länge L; Breit B; Höhe H) enthalten?
:L = 10 m
:B = 8 m
:H = 3,25 m

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1541
|-
|
 
:Volumen V
:V = 10 m * 8 m * 3,25 m
:V = 10 * 8 * 3,25 * m * m * m
:V = 10 * 8 * 3,25 * m<sup>3</sup>
:V = 260 m<sup>3</sup>
:---
:100 : 21 = 260 : x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 21; : 100
:x = <math> \tfrac{260 * 21}{100} </math>
:x = 54,6 
:In dem Raum sind 54,6 m<sup>3</sup> Luft enthalten.
:---
:Probe:
:Ungefähr <math> \tfrac{1}{5} </math> der Luft ist Sauerstoff.
:54,6 ist ungefähr ein Fünftel von 260.
:50 * 5 = 250

|}


BM1542
:In 100 m<sup>3</sup> sind 21 m<sup>3</sup> Sauerstoff enthalten. Wie viel Kubikmeter Sauerstoff sind in einem Raum mit folgenden Abmessungen enthalten?
:L = 10 m
:B = 6 m
:H = 2,75 m

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1542
|-
|
 
:Volumen V
:V = 10 m * 6 m * 2,75 m
:V = 10 * 6 * 2,75 * m * m * m
:V = 10 * 6 * 2,75 * m<sup>3</sup>
:V = 165 m<sup>3</sup>
:---

:100 : 21 = 165 : x &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 21; : 100
:x = <math> \tfrac{165 * 21}{100} </math>
:x = 34,65
:Im Raum sind 34,65 m<sup>3</sup> Luft enthalten.

|}


BM1543
:a)
:Aus 500 kg Sonnenblumenkörner können 220&nbsp;kg Sonnenblumenöl gewonnen werden.
:Ermittle die erforderliche Menge an Sonnenblumensamen für 300&nbsp;kg Sonnenblumenöl

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1543 a)
|-
|
 
:500 : 220 = x : 300 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 300
:x = <math> \tfrac{500 * 300}{220} </math>
:x = 681,<span style="text-decoration:overline;">81</span>
:Aus 681,8 kg Sonnenblumenkörnern kann man 300&nbsp;kg Sonnenblumenöl gewinnen.

|}
 
:b)
:Aus 500 kg Sonnenblumenkörner können 220&nbsp;kg Sonnenblumenöl gewonnen werden. Ermittle die erforderliche Menge an Sonnenblumenkörnern für 200&nbsp;kg Sonnenblumenöl

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1543 b)
|-
|
 
:500 : 220 = x : 200 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 200
:x = <math> \tfrac{500 * 200}{220} </math>
:x = 454,<span style="text-decoration:overline;">54</span>
:Aus 454,6 kg Sonnenblumenkörnern kann man 200&nbsp;kg Sonnenblumenöl gewinnen.

|}

 
BM1544
:Ein Arbeitnehmer erhält den Mindestlohn von 8,84&nbsp;€/h (Stand 2017). 
:a) Wie hoch ist sein Wochenlohn für eine 38,5&nbsp;-stündige Arbeitswoche?
:b) Wie lange hat er für 57,46&nbsp;€ Lohn gearbeitet?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1544
|-
|
 
:a)
:x = 8,84 * <math> \tfrac{Euro}{h} </math> * 38,5 * h
:x = 8,84 * 38,5 * h * <math> \tfrac{Euro}{h} </math>
:x = 8,84 * 38,5 * <math> \tfrac{Euro * h}{h} </math>
:x = 8,84 * 38,5 * Euro
:x = 340,34 Euro
:---
:b)
:1 : 8,84 = x : 57,46 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 57,46
:x = <math> \tfrac{57{,}46}{8{,}84} </math>
:x = 6,5 
:Für 57,46&nbsp;€ Lohn muss der Arbeitnehmer 6,5 Stunden arbeiten.

|}


BM1545
:Ein Auto fährt in 3:39 h die 392 km lange Strecke von München nach Frankfurt.
:a)
:Wie viel Kilometer hat das Fahrzeug nach 2,5 Stunden zurückgelegt?
:---
:b)
:Ermittle die Fahrzeit für 450 m!


:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1545
|-
|
 
:a)
:3:39 h müssen in Stunden umgerechnet werden.
:60 min = 1h
:1 min = 1/60 h
:39 min = 39 * 1/60 h
:39 min  = 0,65 h
:3:39 h = 3,65 h
:---
:3,65 : 392 = 2,5 : x  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 392; : 3,65
:x = <math> \tfrac{2{,}5 * 392}{3{,}65} </math>
:x = 268,483
:Das Fahrzeug hat nach zweieinhalb Stunden 268,483&nbsp;km zurückgelegt.
:---
:b)
:Version 1:
:3,65 h : 392 km = x h : 0,450 km &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 0,450&nbsp;km
:x = <math> \tfrac{3{,}65 * 0{,}45}{392} </math> * <math> \tfrac{h * km}{km} </math>
:x = 0,00419005 h (Das müssen wir jetzt lieber noch in Minuten und Sekunden umrechnen.)
:1 min = 1/60 h
:1 h = 60 min
:1 h : 60 min = 0,00419005 h : x min &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * x; * 60 min; : 1 h
:x min = <math> \tfrac{0{,}00419005 * 60}{1} </math> * <math> \tfrac{h * min}{h} </math>
:x min = 0,251403 min
:Das rechnen wir jetzt in Sekunden um.
:1 min = 60 s
:1 min : 60 s = 0,251403 min : x s &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60
:x = 0,251403 * 60 s
:x = 15,08 s
:Das Fahrzeug braucht für 450 m 15,08 s.
:Probe (Überschlag: Also braucht es für einen Kilometer eine halbe Minute und für 2 km eine Minute.
:3:39 h sind ungefähr 3 * 60 min + 40 min = 220 min
:Das Fahrzeug müsste also in dieser Zeit ca. 440 km zurücklegen. Das liegt ungefähr im Bereich der vorgegebenen 392 km.
:---
:Version 2:
:Wir sollten lieber die gegebenen 3:39 h gleich in Minuten umrechnen
:1 h = 60 min
:3 h = 3 * 60 min = 180 min
:180 min + 39 min = 219 min
:Das rechnen wir besser gleich nochin Sekunden um.
:1 min = 60 s  &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 219
:219 min = 60 * 219 s
:3:39 h = 219 min = 13140 s
:Damit rechnen wir jetzt den Dreisatz aus.
:13140 : 392 = x : 0,45
:x = <math> \tfrac{13140 * 0{,}45}{392} </math>
:x = 15,08 s
:Das Fahrzeug braucht für 450 m 15,08 s.
:(Glücklicherweise stimmt das Ergebnis mit der Rechnung aus Version 1 überein.)

|}


BM1546
:Wiederholung: Umrechnung von Zeiteinheiten
:---
:MERKE:
:Stunden zu Minuten umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60
:18 h * 60 = 1080 min
:1,34 h * 60 = 80,4 min
:0,09 h * 60 = 5,4 min
:---
:Minuten zu Stunden umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60
:120 min : 60 = 2 h
:123 min : 60 = 2,06 h
:13 min : 60 = 0,21<span style="text-decoration:overline;">6</span> h
:2,25 min : 60 = 0,0357 h
:---
:a)
:Minuten in Sekunden umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60
:Rechne in Sekunden um!
:18 min
:1,34 min
:0,09 min

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1546 a)
|-
|
 
:18 min * 60 = 1080 s
:1,34 min * 60 = 80,4 s
:0,09 min * 60 = 5,4 s

|}

:---
b)
:Sekunden in Minuten umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60
:Rechne in Minuten um!
:120 s 
:123 s 
:13 s 
:2,25 s
 
:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1546 b)
|-
|
 
:120 s : 60 = 2 min
:123 s : 60 = 2,06 min
:13 s : 60 = 0,21<span style="text-decoration:overline;">6</span> min
:2,25 s : 60 = 0,0357 min

|}

c)
:Stunden in Sekunden umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 60 * 60
:60 * 60 = 6 * 10 * 6 * 10 = 6 * 6 * 10 * 10 = 36 * 100 = 3600
:Also &nbsp;&nbsp;&nbsp;// * 3600
:Rechne in Sekunden um!
:120 h 
:123 h 
:13 h 
:2,25 h 


:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1546 c)
|-
|
 
:120 h * 3600 = 432.000 s
:123 h * 3600 = 442.800 s 
:13 h * 3600 = 46.800 s 
:2,25 h * 3600 = 8100 s

|}

d)
:Sekunden in Stunden umrechnen &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 60 : 60
:60 * 60 = 6 * 10 * 6 * 10 = 6 * 6 * 10 * 10 = 36 * 100 = 3600
:Also &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 3600
:Rechne in Stunden um!
:18 s
:1,34 s
:0,09 s


:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1546 d)
|-
|
 
:18 s : 3600 = 0,005 h
:1,34 s : 3600 = 0,00037<span style="text-decoration:overline;">2</span> h
:0,09 s : 3600 = 0,000025 h

|}


BM1547
:Die folgende Tabelle gibt die erforderlichen Zeiten zum Durchfahren einer Strecke von 60&nbsp;km in Abhängigkeit von der gewählten Geschwindigkeit an.
:Es besteht umgekehrte Proportionalität:
:<math>{t} \sim \tfrac{1}{v}</math>

:{| class="wikitable"
! align="center" |
Geschwindigkeit v [km/h]
| align="center" | 
10
| align="center" |
20
| align="center" |
30
| align="center" |
40
| align="center" |
50
| align="center" | 
60
|----
! align="center" |
Zeit t [h]
| align="center" | 
6
| align="center" |
3
| align="center" |
2
| align="center" |
<math> \tfrac{3}{2} </math>
| align="center" |
<math> \tfrac{6}{5} </math> 
| align="center" | 
1

|}

:Der Proportionalitätsfaktor ist 60, also gilt:
:t = 60 * <math> \tfrac{1}{v} </math>.
:Daraus folgt bei beiderseitiger Multiplikation mit v:
:v * t = 60,
:d. h. das Produkt aus zwei einander zugeordneten Maßzahlen ist stets gleich dem Proportionalitätsfaktor 60.
:---
:Wir wollen nun die erforderliche Zeit tim Falle einer beliebigen anderen Geschwindigkeit berechnen.
:Das Produkt aus der gegebenen Maßzahl der Geschwindigkeit und t muss wie bei den  in der Tabelle angegebenen Zahlen wieder 60 ergeben.


BM1548
:Welche Zeit benötigt ein Radfahrer für eine Strecke von 60&nbsp;km, der mit der Geschwindigkeit 15&nbsp;<math> \tfrac{km}{h} </math> fährt?


:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1548
|-
|
 
:Ansatz:
:15 * t = 60
:Wir lösen diese Gleichung:
:15 * t = 60 &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 15
:t = 4
:Antwort:
:Der Radfahrer legt die Strecke von 60&nbsp;km bei einer Geschwindigkeit von 15&nbsp;<math> \tfrac{km}{h} </math> in 4&nbsp;h zurück.

|}


BM1549
:Wenn wir schon vorher wissen, dass zwei Größen zueinander umgekehrt proportional sind, benötigen wir nur zwei zugeordnete Maßzahlen beider Größen.
:Diese beiden Maßzahlen reichen aus, um aus ihnen durch Multiplikation das einheitliche Produkt als Proportionalitätsfaktor zu ermitteln.
:---
:Angenommen, ein Radfahrer legt bei einer Geschwindigkeit von 12&nbsp;<math> \tfrac{km}{h} </math> die Entfernung zwischen zwei Städten in 5&nbsp;h zurück. 
:Wie viel Stunden benötigt ein anderer Radfahrer, der mit der Geschwindigkeit von 20&nbsp;<math> \tfrac{km}{h} </math> fährt, für diese Strecke?
:---
:Aus der Erfahrung wissen wir: Geschwindigkeit und benötigte Zeit für eine bestimmte Strecke sind zueinander umgekehrt proportional, denn bei doppelter (dreifacher) Geschwindigkeit benötigt man nur die Hälfte (den dritten Teil) der Zeit.
:---
:Ansatz:

:{| class="wikitable"
! align="center" |
Geschwindigkeit v [km/h]
| align="center" | 
12
| align="center" |
20
|----
! align="center" |
Zeit t [h]
| align="center" | 
5
| align="center" |
t

|}

:Überschlag:
:Die Geschwindigkeit wird auf das etwa 1<math>\tfrac{1}{2} </math> fache (= <math> \tfrac{3}{2} </math>fache) erhöht.
:Also wird wird nur das etwas <math> \tfrac{2}{3} </math>fache der Zeit benötigt.
:<math> \tfrac{2}{3} </math> * 5 ≈ 3
:---
:Lösung:
:Wegen der Gleichheit der Produkte ergibt sich:
:12 * 5 = 20 * t &nbsp;&nbsp;&nbsp;// : 20
:<math> \tfrac{12 * 5}{20} </math> = t
:t = 3
:Antwortsatz:
:Der schnellere Radfahrer benötigt für diese Strecke nur 3&nbsp;h.


BM1550
:5 Maurer mauern eine Wand in 12 Stunden.
:In welcher Zeit schaffen bei gleicher Durchschnittsleistung die gleiche Arbeit
:a) 6 Maurer,
:b) 10 Maurer,
:c) 4 Maurer,
:d) 8 Maurer?

:{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable" style="width: 100%"  
|-
!Lösung BM1550
|-
|
 
:a)
:Maurer: 5; 6
:Zeit [h]: 12; x
:---
:12 * 5 = 6 * x
:x = <math> \tfrac{12 * 5}{6} </math>
:x = 10
:6 Maurer brauchen 10 Stunden für die gleiche Arbeit.

:{| class="wikitable"
! align="center" |
Maurer [n]
| align="center" | 
5
| align="center" |
6
| align="center" | 
10
| align="center" |
4
| align="center" | 
8
|----
! align="center" |
Zeit [h]
| align="center" | 
12
| align="center" |
x
| align="center" |
y
| align="center" |
z
| align="center" |
w

|}

:---
:b)
:12 * 5 = 10 * y
:y = <math> \tfrac{12 * 5}{10} </math>
:y = 6
:10 Maurer brauchen 6 Stunden für die gleiche Arbeit.

:---
:c)
:12 * 5 = 4 * z
:z = <math> \tfrac{12 * 5}{4} </math>
:z = 15
:4 Maurer brauchen 15 Stunden für die gleiche Arbeit.

:---
:d)
:12 * 5 = 8 * w
:w = <math> \tfrac{12 * 5}{8} </math>
:w = 7,5
:8 Maurer brauchen 7,5 Stunden für die gleiche Arbeit.

:---


:{| class="wikitable"
! align="center" |
Maurer [n]
| align="center" | 
5
| align="center" |
6
| align="center" | 
10
| align="center" |
4
| align="center" | 
8
|----
! align="center" |
Zeit [h]
| align="center" | 
12
| align="center" |
10
| align="center" |
6
| align="center" |
15
| align="center" |
7,5

|}

|}

 
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