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Dado un sistema rectangular de coordenadas cartesianas en el plano o el espacio tridimensional y dados <math>x</math> y <math>y</math> que pertenezcan a cualquiera de estos dos donde <math>x=(x_1,x_2)</math> y <math>y=(y_1,y_2)</math> si estan en el plano y <math>x=(x_1,x_2,x_3)</math> y <math>y=(y_1,y_2,y_3)</math> en el espacio tridimensional se define:

'''En el plano:''' <math>{\rho}_{(x,y)} = \sqrt{{(x_1 - y_1)^2} + {(x_2 - y_2)^2}}</math>

'''En el espacio tridimensional:''' <math>{\rho}_{(x,y)} = \sqrt{{(x_1 - y_1)^2} + {(x_2 - y_2)^2}+{(x_3 - y_3)^2}}</math>

Donde <math>{\rho}_{(x,y)}</math> es la distancia entre <math>x</math> y <math>y</math>.

Definido el concepto de distancia en el plano y en el espacio tridimensional, ahora se va a definir la idea de distancia en un espacio de dimensión <math>n</math>, pero primero se ha de definir que es un espacio n-dimensional.


== Definición 1 (Espacio n-dimensional) ==

Un espacio n-dimensional es aquel donde cualquier punto <math>x</math> perteneciente a éste se puede expresar como un conjunto ordenado <math>(x_1,x_2,...,x_n)</math> es decir

<center><math>x = (x_1,x_2,...,x_3)</math></center>

Donde <math>x_i</math>, <math>i=1,2,...,n</math>; es una componente de <math>x</math>.

Este espacio n-dimensional se puede representar, en este caso, como <math>{\mathbb{R}}^n</math>

== Definición 2 (Distancia en un espacio n-dimensional) ==

Dados <math>x,y \in {\mathbb{R}}^n</math> se define la distancia entre <math>x</math> y <math>y</math> de la siguiente manera:

<center><math>{\rho}_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math></center>


== Definición 3 ==

El espacio n-dimensional donde para cada par de puntos <math>x,y \in {\mathbb{R}}^n</math> está definido <math>{\rho}_{(x,y)}</math> se le llama '''espacio euclídeo n-dimensional'''.


== Propiedades de la distancia entre dos puntos en el espacio n-dimensional ==

De la definición expuesta anteriormente se coligen las siguientes propiedades de la definición de distancia de dos punto en un espacio n-dimensional.

Dados <math>x,y \in \mathbb{R}^n</math> se tiene


=== Propiedad 1 ===
 

<math>\rho_{(x,y)} \ge 0</math>


Esto se deduce inmediatamente ya que por definición <math>\rho_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</math>.


=== Propiedad 2 ===


Para <math>\rho_{(x,y)} = 0</math> es necesario y suficiente que <math>x = y</math>


'''Demostración de suficiencia'''


Si <math>x = y</math> entonces se tiene que <math>x_i = y_i</math> para <math>i = 1,2,...,n</math> y de alli


<center><math>\rho_{(x,y)} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n 0^2}</math></center>


<center><math>\rho_{(x,y)} = 0</math></center>


'''Demostración de necesidad'''


Puesto que <math>\rho_{(x,y)} = 0</math> es decir <math>\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = 0</math> se obtine que


<center><math>(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + ... + (x_n - y_n)^2 = 0</math></center>


Haciendo <math>\alpha_{i} = x_i - y_i</math> para <math>i = 1,2,...,n</math> entonces


<center><math>{\alpha_1}^2 + {\alpha_2}^2 + ... + {\alpha_n}^2 = 0</math></center>


Como resultado se tiene que <math>\alpha_i = 0</math> para <math>i = 1,2,..,n</math> ya que si al menos un <math>\alpha_k \ne 0</math> para <math>1 \le k \le n (k \in \mathbb{N})</math> se tendría


<center><math>0 < {{\alpha_1}^2 + {\alpha_2}^2 + ... + {\alpha_n}^2} = 0</math></center>


Lo cual sería una contradicción, por lo tanto <math>x_i = y_i</math> para <math>i = 1,2,...,n</math> y esto implica <math>x = y</math>.


=== Propiedad 3 ===


<math>\rho_{(x,y)} = \rho_{(y,x)}</math>


Es obvio ya que <math>\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - x_i)^2}</math>


=== Propiedad 4 ===

<math>\rho_{(x,y)} \le \rho_{(x,z)} + \rho_{(z,y)}</math> para cualquier <math>z \in \mathbb{R}^n</math>