Ver el código de «Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Multiplicacion de Números Naturales»

==Definición==

Es toda operación donde se involucran dos o mas elementos con el símbolo <math> \ast </math>,<math> \times  </math>,<math>\cdot </math> , consiste en sumar un número tantas veces como lo indica el otro número, cuyas representaciónes pueden ser:

<math> a \ast b = c </math>

<math> a \times b = c </math>

<math> a \cdot b = c </math>

Los términos a y b se llaman '''factores''' y el resultado, c, '''producto'''.

La multiplicación de dos números enteros ''n'' y ''m'' se expresa como:

:<math>\sum_{k=1}^n m=mn</math>

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar ''m'' a sí mismo ''n'' veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

:''m''·''n'' = ''m'' + ''m'' + ''m'' +...+ ''m''

tal que hay ''n'' sumandos. Así, por ejemplo:

* 5×2 = 5 + 5 = 10
* 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
* 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
* ''m''·6 = ''m'' + ''m'' + ''m'' + ''m'' + ''m'' + ''m'' = 6''m''
* ''m''·5 = ''m'' + ''m'' + ''m'' + ''m'' + ''m'' = 5''m''

== Tabla básica de la Multiplicación ==
La forma tradicional de representar la tabla de multiplicar para su memorización o repaso, como su propio nombre indica en forma de tabla.<ref>{{cita libro |apellidos=de Eguilaz |nombre=Eugenio |editor=Antonio Mateis Muñoz |título= Tablas de sumar, restar, multiplicar y dividir |edición= 1 |año= 1840 |página= 12 |idioma= español}}</ref> <ref>{{cita libro |apellidos= Oriol y Bernadet |nombre= José |editor= José Matas |título= Manual de aritmética demostrada: Al alcance de los niños |edición= 1 |año= 1845 |página= 24 |idioma= español}}</ref><ref>{{cita libro |apellidos= Coto |nombre= Alberto |título= Ayuda a tu hijo a entrenar su inteligencia |url= https://archive.org/details/ayudatuhijoentre0000coto |edición= 1 |año= 2009 |página= [https://archive.org/details/ayudatuhijoentre0000coto/page/62 62] |editorial =Editorial EDAF S.L. |idioma= español |isbn= 978-84-414-2099-1}}</ref> Donde se multiplica, del uno al diez o del cero al diez, cada uno de los números en la tabla.
: <math>
   \begin{array}{c}
   tabla \; de \; multiplicar \\ \\
   \begin{array}{ccccc}
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 1  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          1 & \times &  0 & = &  0 \\
          1 & \times &  1 & = &  1 \\
          1 & \times &  2 & = &  2 \\
          1 & \times &  3 & = &  3 \\
          1 & \times &  4 & = &  4 \\
          1 & \times &  5 & = &  5 \\
          1 & \times &  6 & = &  6 \\
          1 & \times &  7 & = &  7 \\
          1 & \times &  8 & = &  8 \\
          1 & \times &  9 & = &  9 \\
          1 & \times & 10 & = & 10 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 2  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          2 & \times &  0 & = &  0 \\
          2 & \times &  1 & = &  2 \\
          2 & \times &  2 & = &  4 \\
          2 & \times &  3 & = &  6 \\
          2 & \times &  4 & = &  8 \\
          2 & \times &  5 & = & 10 \\
          2 & \times &  6 & = & 12 \\
          2 & \times &  7 & = & 14 \\
          2 & \times &  8 & = & 16 \\
          2 & \times &  9 & = & 18 \\
          2 & \times & 10 & = & 20 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 3  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          3 & \times &  0 & = &  0 \\
          3 & \times &  1 & = &  3 \\
          3 & \times &  2 & = &  6 \\
          3 & \times &  3 & = &  9 \\
          3 & \times &  4 & = & 12 \\
          3 & \times &  5 & = & 15 \\
          3 & \times &  6 & = & 18 \\
          3 & \times &  7 & = & 21 \\
          3 & \times &  8 & = & 24 \\
          3 & \times &  9 & = & 27 \\
          3 & \times & 10 & = & 30 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} \\ \\
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 4  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          4 & \times &  0 & = &  0 \\
          4 & \times &  1 & = &  4 \\
          4 & \times &  2 & = &  8 \\
          4 & \times &  3 & = & 12 \\
          4 & \times &  4 & = & 16 \\
          4 & \times &  5 & = & 20 \\
          4 & \times &  6 & = & 24 \\
          4 & \times &  7 & = & 28 \\
          4 & \times &  8 & = & 32 \\
          4 & \times &  9 & = & 36 \\
          4 & \times & 10 & = & 40\\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 5  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          5 & \times &  0 & = &  0 \\
          5 & \times &  1 & = &  5 \\
          5 & \times &  2 & = & 10 \\
          5 & \times &  3 & = & 15 \\
          5 & \times &  4 & = & 20 \\
          5 & \times &  5 & = & 25 \\
          5 & \times &  6 & = & 30 \\
          5 & \times &  7 & = & 35 \\
          5 & \times &  8 & = & 40 \\
          5 & \times &  9 & = & 45 \\
          5 & \times & 10 & = & 50 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
    \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 6  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          6 & \times &  0 & = &  0 \\
          6 & \times &  1 & = &  6 \\
          6 & \times &  2 & = & 12 \\
          6 & \times &  3 & = & 18 \\
          6 & \times &  4 & = & 24 \\
          6 & \times &  5 & = & 30 \\
          6 & \times &  6 & = & 36 \\
          6 & \times &  7 & = & 42 \\
          6 & \times &  8 & = & 48 \\
          6 & \times &  9 & = & 54 \\
          6 & \times & 10 & = & 60 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} \\ \\
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 7  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          7 & \times &  0 & = &  0 \\
          7 & \times &  1 & = &  7 \\
          7 & \times &  2 & = & 14 \\
          7 & \times &  3 & = & 21 \\
          7 & \times &  4 & = & 28 \\
          7 & \times &  5 & = & 35 \\
          7 & \times &  6 & = & 42 \\
          7 & \times &  7 & = & 49 \\
          7 & \times &  8 & = & 56 \\
          7 & \times &  9 & = & 63 \\
          7 & \times & 10 & = & 70 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 8  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          8 & \times &  0 & = &  0 \\
          8 & \times &  1 & = &  8 \\
          8 & \times &  2 & = & 16 \\
          8 & \times &  3 & = & 24 \\
          8 & \times &  4 & = & 32 \\
          8 & \times &  5 & = & 40 \\
          8 & \times &  6 & = & 48 \\
          8 & \times &  7 & = & 56 \\
          8 & \times &  8 & = & 64 \\
          8 & \times &  9 & = & 72 \\
          8 & \times & 10 & = & 80 \\
      \end{array} \\
      \hline
   \end{array} &
   \begin{array}{|c|}
      \hline
      tabla \; del \; 9  \\
      \begin{array}{rcrcr}
          9 & \times &  0 & = &  0 \\
          9 & \times &  1 & = &  9 \\
          9 & \times &  2 & = & 18 \\
          9 & \times &  3 & = & 27 \\
          9 & \times &  4 & = & 36 \\
          9 & \times &  5 & = & 45 \\
          9 & \times &  6 & = & 54 \\
          9 & \times &  7 & = & 63 \\
          9 & \times &  8 & = & 72 \\
          9 & \times &  9 & = & 81 \\
          9 & \times & 10 & = & 90 \\
      \end{array} \\
      \hline
  \end{array} \\
  \end{array} \\
  \end{array}
</math>

Otra forma de representar la tabla de multiplicar, es la denominada '''tabla pitagórica'''<ref>{{cita libro|apellidos=Tapia Felipe|nombre=Yolanda|apellidos2=García Anaya|nombre2=Fernando José|título=Matemáticas 2|edición=1|año=2005|página=104|editorial=Editorial Progreso SA|idioma=español|isbn=970-641-554-8}}</ref> (denominada así en honor de Pitágoras), compuesta por coordenadas cartesianas (denominadas así en honor de Descartes). La ultima fila y la primera columna contienen los números que se van a multiplicar (habitualmente, los números enteros hasta el 10), y en la intersección de cada fila y cada columna está el producto del número de su fila por el número de su columna.
: <math>
   \begin{array}{r|rrrrrrrrrr}
      \times &  0 &  1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 \\
      \hline
       0     &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
       1     &  0 &  1 &  2 &  3 &  4 &  5 &  6 &  7 &  8 &  9 & 10 \\
       2     &  0 &  2 &  4 &  6 &  8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\
       3     &  0 &  3 &  6 &  9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30 \\
       4     &  0 &  4 &  8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40 \\
       5     &  0 &  5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \\
       6     &  0 &  6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60 \\
       7     &  0 &  7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\
       8     &  0 &  8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80 \\
       9     &  0 &  9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90 \\
      10     &  0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\
   \end{array}
</math>

Esta representación es la más compacta, y permite ver algunas propiedades de la multiplicación, la propiedad conmutativa, el orden de los factores no altera el producto, por ejemplo el '''5·3''' es igual a '''3·5''', esto hace que este cuadro sea una matriz simétrica, los valores situados a un lado otro de la diagonal que une el 1 y el 100, son iguales.

Esta simetría se puede ver también al comprobar que las filas y las columnas de un mismo número son iguales, si vemos la fila del tres, presenta la secuencia: 3, 6, 9, 12..., y si miramos la columna del tres tenemos la misma secuencia 3, 6, 9..., es decir, si cambiamos las filas por las columnas la tabla no varía, esto se debe a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

La diagonal principal, recoge los cuadrados de los números, en esta diagonal la fila es igual a la columna, por lo que tenemos que:
: <math> a \cdot a = a^2 \, </math>

La distribución de los números a un lado y otro de esta diagonal también es simétrica según nos alejamos de ella.

==Propiedades de la multiplicación==

: Propiedad asociativa, <math> (m\cdot n)\cdot p = m\cdot (n\cdot p) </math> para cualesquier m, n, p números naturales

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

: conmutativa: <math>m\cdot n = n\cdot m </math>, para n y n cualesquier número natural.

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

: Propiedad distributiva respecto a la adición: <math> m\cdot(l+n)= m\cdot l + m\cdot n = (l+n)\cdot m </math>

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

: Se puede deducir esto cómo factor común:  <math> a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)  </math>

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

: No hay divisores de cero: <math> m\cdot n = 0</math> implica que por lo menos uno de los factores es igual a cero.<ref>A. Adrian Albert. «Álgebra superior»</ref>

: Propiedad del Elemento neutro <math> n\cdot 1 = n</math> todo número natural n.

Cualquier número multiplicado por 1 da el resultado del número que sea a

3 · 1 = 3

{{AutoCat}}

== Referencias ==
{{listaref}}