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== Aplicaciones ==
Una aplicación es una relación entre dos conjuntos, a uno lo llamaremos "de partida" o "dominio" y al otro "de llegada" o "codominio". Esta relación tiene un particularidad, tal que a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo uno del conjunto de llegada.

'''Ejemplos:'''

Sean los conjuntos <math>A</math> y <math>B</math> siguientes:
: <math> 
   A = \{ 1, 2, 3 \}
</math>

: <math>
   B = \{ 4, 5 \}
</math>

'''Ejemplo: 1''':

: <math>
   f : A \to B = \{ (1,4), (2,5), (3, 5) \}
</math>

en forma cartesiana
: <math>
   \begin{array}{r|rrr}
      5 &        & \times & \times \\
      4 & \times                   \\
      \hline
        &      1 &      2 &      3 \\
\end{array}
</math>

La aplicación <math>f</math> tiene como dominio al conjunto <math>A</math> y como codominio al conjunto <math>B</math>. Esta aplicación está bien definida, pues a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde solo uno del conjunto de llegada. (Específicamente: a 1 le corresponde 4, a 2 y a 3 les corresponden 5).

'''Ejemplo: 2''':
: <math>
   g : B \to A = \{ (4,1), (5,2) \}
</math>

en forma cartesiana
: <math>
   \begin{array}{r|rr}
      3                    \\
      2 &        & \times  \\
      1 & \times           \\
      \hline
        &      4 &      5  \\
\end{array}
</math>

Esta aplicación <math>g</math> tiene como dominio al conjunto <math>B</math> y como codominio al conjunto <math>A</math>. Como vemos, no a todo elemento del conjunto <math>A</math> le corresponde un elemento del conjunto <math>B</math>, cuando esto sucede se dice que la función no es sobreyectiva o no suryectiva (sur viene del francés y significa sobre). En ciertos países se utiliza también la palabra suprayectiva. Volveremos con el concepto de sobreyectividad más tarde.

'''Ejemplo: 3''':
: <math>
   h : B \to A = \{ (4,1), (4,2), (5,3) \}
</math>

en forma cartesiana
: <math>
   \begin{array}{r|rr}
      3 &        & \times  \\
      2 & \times           \\
      1 & \times           \\
      \hline
        &      4 &      5  \\
\end{array}
</math>

En este caso, <math>h</math> no es una aplicación pues a un elemento del dominio (al 4), le corresponden dos valores del codominio (1 y 2).

=== Ley de una aplicación ===

Si bien una aplicación puede ser definida a través de un conjunto de pares ordenados, esto puede ser incómodo si hablamos de conjuntos grandes. Por eso se suele definir una aplicación a través de una ley.

'''Ejemplos:'''
: <math>
      \begin{array}{cccl}
         f: & \mathbb N & \longrightarrow & \mathbb N \\
            &         x & \longmapsto     & y = 2 \cdot x
      \end{array}
</math>

Esta aplicación tiene como dominio y codominio los números naturales, y lo que hace es asignar a cada número su doble. Si lo vieramos como un conjunto de pares ordenados, sería de la siguiente manera:
: <math>
   f = \{ (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), \ldots \}
</math>

en forma cartesiana
: <math>
   \begin{array}{r|rrrr}
      8 &        &        &       & \times\\
      7 \\
      6 &        &       & \times\\
      5 \\
      4 &        & \times\\
      3 \\
      2 & \times \\
      1 \\
      \hline
        &      1 &      2 &      3 &      4  \\
\end{array}
</math>

Los <math>\ldots</math> muestran que siguen indefinidamente (hay infinitos pares). La cardinalidad de este conjunto es <math>\aleph_0</math>.

== Funciones ==

Dentro de las aplicaciones hay un conjunto particular que es el que es objeto de estudio del análisis matemático, las funciones. Las funciones son aplicaciones cuyo dominio y codominio están contenidos en el conjunto de los números reales o complejos.

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