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== Definición ==
[[File:Fourier transform time and frequency domains (small).gif|frame|right|La transformada de Fourier relaciona una función en el [[dominio del tiempo]], mostrada en rojo, con una función en el [[dominio de la frecuencia]], mostrado en azul. Las frecuencias componentes, extendidas para todo el espectro de frecuencia, son representadas como picos en el dominio de la frecuencia.]]
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

=== Definición formal ===
Sea <math>f</math> una función Lebesgue integrable: 
{{ecuación|
<math> f \in L^1(\mathbb{R}) </math> 
||left}}
La transformada de Fourier de <math>f</math>es la función 
:<math>\mathcal{F} \{ f \} \ \ : \xi \mapsto \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx, </math>
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable.  Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier<math>F(f)</math> es una función acotada.  Además por medio del [[teorema de convergencia dominada]] puede demostrarse que <math>F(f)</math> es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable <math>f </math> está definida por:
:<math>\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,</math>
Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la [[varianza]] para cada función.

[[Categoría:Álgebra Universitaria]]