Ver el código de «Ábaco Oriental/Técnicas Avanzadas/Operaciones Abreviadas»

== Introducción ==

Este capítulo es un tanto especial en el sentido de que su contenido no  es específico del ábaco, sino que se trata de un recurso  para acortar operaciones aritméticas tanto en el cálculo escrito como con ábaco. Lo incluimos en este libro porque, a lo largo del mismo,  hacemos un uso esporádico de estas operaciones abreviadas.

Esta cuestión puede encontrarse en algunos libros de aritmética de la era anterior a la informática<ref name="mur">{{cite book
 |autor=Goded Mur, Antonino
 |title=Matemáticas
 |language=Español
 |place=Zaragoza (Spain)
 |date=1945
 |publisher=Compendios CHOP
 |pages=20-26
}}</ref>. La motivación es la siguiente. Supongamos que medimos el lado de un cuadrado y obtenemos <math display = "inline"> l = 864 \, \text{mm} </math> y queremos calcular su área <math display = "inline"> S </math>

<math display="block">S = {l}^2 =l \cdot l= 864\cdot 864= 746496\,\text{mm}^2</math>

un resultado con 6 dígitos, pero si hemos medido el lado del cuadrado con una cinta métrica que solo aprecia milímetros, lo que podemos decir es que el valor del lado está entre <math display = "inline"> 863.5 </math > y <math display = "inline"> 864.5 </math>, es decir:

<math display="block">l=864.0\pm 0.5\,\text{mm}</math>

De modo que <math display = "inline"> S </math> será un valor entre <math> {863.5} ^ 2 = 745632.25 </math> y <math> {864.5} ^ 2 = 747360.25 </math>. Esto significa que solo conocemos con certeza los dos primeros dígitos del resultado S (74) y que el tercer dígito probablemente sea un 6; el resto de los dígitos de la multiplicación no tienen sentido (decimos que no son significativos) y no debemos incluirlos en nuestro resultado. Deberíamos escribir:

<math display="block">S=746\cdot {10}^3\,\text{mm}^2 = 7.46\cdot {10}^5\,\text{mm}^2</math>

siendo <math display = "inline"> 746 </math> las cifras significativas de nuestro resultado. Entonces, si sólo tres de las seis cifras del producto <math display = "inline"> 864 \cdot 864 </math> son significativas, ¿por qué calcular las seis? 

Para eso están las '''''operaciones abreviadas'''''.

Cabe decir que el razonamiento anterior se extiende a la división, raíces etc. En líneas generales, ''un resultado no tiene más cifras significativas que el menor número de ellas entre los operandos''; por ejemplo, si dividimos un número con 8 cifras significativas por otro que sólo tiene 2, el resultado tiene sólo 2 dígitos significativos y sería un trabajo estéril obtener 8 dígitos del cociente.

En este capítulo seguiremos los ejemplos que aparecen en ''''' Matemáticas ''''' de Antonino Goded Mur<ref name="mur" />  (en adelante simplemente '' Matemáticas ''), un pequeño manual que formaba parte de la colección: '''Compendios CHOP''', que tan popular fue durante parte del siglo XX en España. Veremos cómo se pueden hacer estas operaciones abreviadas con el ábaco.

== Multiplicación ==

En ''Matemáticas'' se propone el siguiente procedimiento para la multiplicación:

;Multiplicación
:''Se escribe el producto del multiplicando por la primera cifra del multiplicador,<br>se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de su última cifra por la segunda del multiplicador,<br>se escribe debajo el producto del multiplicando amputado de sus dos últimas cifras por la tercera del multiplicador<br>y así sucesivamente''

Proponiendo el ejemplo 6665x1375 y la siguiente forma escrita de realizarlo por comparación a la multiplicación normal:

;Ejemplo
:{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|<pre>    6665
  x 1375
 ———————
   33325
  46655 
 19995     
 6665   
 ———————

 9164375</pre>
|<pre>  6665
x 1375
  ————
  6665
  1999
   466
    33
  ————
  9163</pre>
|-
|Operación<br>normal
|Operación<br>abreviada
|}

Lo importante a considerar aquí es que, de todos los productos parciales que hemos de sumar para obtener el producto:

{| class="wikitable" style="text-align: right;"
|+Productos parciales de 6665x1375
!✕
!<math>6\cdot 10^3</math>
!<math>6\cdot 10^2</math>
!<math>6\cdot 10^1</math>
!<math>5\cdot 10^0</math>
|-
!<math>1\cdot 10^3</math>
|<math>6\cdot 10^6</math>
|<math>6\cdot 10^5</math>
|<math>6\cdot 10^4</math>
|<math>5\cdot 10^3</math>
|-
!<math>3\cdot 10^2</math>
|<math>18\cdot 10^5</math>
|<math>18\cdot 10^4</math>
|<math>18\cdot 10^3</math>
|style="background: lightgrey;"|<math>15\cdot 10^2</math>
|-
!<math>7\cdot 10^1</math>
|<math>42\cdot 10^4</math>
|<math>42\cdot 10^3</math>
|style="background: lightgrey;"|<math>42\cdot 10^2</math>
|<math>35\cdot 10^1</math>
|-
!<math>5\cdot 10^0</math>
|<math>30\cdot 10^3</math>
|style="background: lightgrey;"|<math>30\cdot 10^2</math>
|<math>30\cdot 10^1</math>
|<math>25\cdot 10^0</math>
|}
debemos tomar en consideración aquellos que tienen potencias de 10 elevadas, los situados por encima de la diagonal en gris, retener sólo el primer dígito de los de dicha diagonal y olvidarnos de los que están por debajo. De esta forma, ahorraremos cierto trabajo.

En el ábaco, este problema se puede resolver de varias maneras; por ejemplo, adaptando la multiplicación moderna:

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ 6666x1375 Multiplicación moderna
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJKLM'''
| 
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;1375
| Planteamiento
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+330
| Sumar 5✕66 a K-M
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-5
| Borrar J
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;137&nbsp;330
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+4662
| Sumar 7✕666=4662 a J-M
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Borrar I
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;13&nbsp;4992
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+19995
| Sumar 3✕6665=19995 a I-M
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-3
| Borrar H
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;1&nbsp;24987
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+6665
| Sumar 1✕6665=6665 a H-L
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-1
| Borrar G
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;91637
| Resultado
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;9164
| Resultado redondeado a 4 cifras
|}

e incluso la multiplicación tradicional, borrando primero el dígito del multiplicando y luego sumando los productos parciales desplazados una columna a la izquierda respecto al caso anterior

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ 6666x1375 Multiplicación tradicional
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJKL'''
| 
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;1375
| Planteamiento
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-5
| Borrar J
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+330
| Sumar 5✕66 a J-L
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;137330
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Borrar I
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+4662
| Sumar 7✕666=4662 a I-L
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;134992
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-3
| Borrar H
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+19995
| Sumar 3✕6665=19995 a H-L
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;124987
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-1
| Borrar G
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+6665
| Sumar 1✕6665=6665 a G-K
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;&nbsp;91637
| Resultado
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;&nbsp;9164
| Resultado redondeado a  4 cifras
|}
En todos los casos, tendremos que ser cuidadosos con la posición de la varilla unidad; no olvidemos que <math>6666\times 1375 = 9164375</math> y que el resultado obtenido en el ábaco: <math>9164</math> es en realidad: <math>9164\cdot 10^3 = 9.164\cdot 10^6</math>.

También podemos hacer lo mismo usando métodos de multiplicación que comienzen trabajando con las cifras de la izquierda del multiplicando (vease el capítulo [[../Métodos Especiales de Multiplicación/|Métodos Especiales de Multiplicación]]); por ejemplo, utilizando la ''"Multiplicación que comienza con los dígitos más altos del multiplicador y el multiplicando"'' de Kojima, explicada en su segundo libro.<ref>{{Cita libro
|title=Advanced Abacus: Theory and Practice 
|autor=Kojima,  Takashi
|year=1963 
|publisher=Charles E. Tuttle Co., Inc. 
|location=Tokyo 
|isbn=978-0-8048-0003-7
}}</ref>, donde dice: ''"Como la operación comienza multiplicando los primeros dígitos del multiplicador y el multiplicando, es conveniente para las aproximaciones"''; es decir, justamente se adapta a nuestro problema. También podemos probar la '''multiplicación multifactorial'''<ref>{{cita web
 |title=Multifactorial Multiplication
 |year=2005
 |autor2=Heffelfinger, Totton
 |autor=Tejón, Fernando
 |work=算盤 Abacus: Mystery of the Bead
 |url=http://totton.idirect.com/soroban/MultiFac/
 |accesdate=August 14, 2021
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210801083254/http://totton.idirect.com/soroban/MultiFac/
 |archivedate=August 1, 2021
}}</ref> o similar; por ejemplo:

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ 6666x1375 Multiplicación comenzando por la izquierda
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJKLM'''
| 
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;1375
| Planteamiento
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.
| Varilla unidad
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-1
| Borrar J
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+6665
| Sumar 1✕6665 a G-J
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;6665375
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+18
| Sumar 3✕6 a GH
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+18
| Sumar 3✕6 a HI
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+18
| Sumar 3✕6 a IJ
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-3
| Borrar K
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+15
| Sumar 3✕5 a JK
|-
| 6665&nbsp;&nbsp;8664575
| 
|-
| 666&nbsp;&nbsp;&nbsp;8664575
| Borrar D
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+42
| Sumar 7✕6 a HI
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+42
| Sumar 7✕6 a IJ
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+42
| Sumar 7✕6 a JK
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Borrar L
|-
| 666&nbsp;&nbsp;&nbsp;91307&nbsp;5
| 
|-
| 66&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;91307&nbsp;5
| Borrar C
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+30
| Sumar 5✕6 a IJ
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+30
| Sumar 5✕6 a JK
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-5
| Borrar M
|-
| 66&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;91637
| Resultado
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.
| Varilla unidad
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;9164
| Resultado redondeado a 4 cifras
|}

== División ==

En Matemáticas se propone el siguiente procedimiento para la división:

;División
:''El primer dígito del cociente se encuentra como de costumbre,<br>el resto se divide por el divisor sin su último dígito,<br>el nuevo resto por el divisor sin sus dos últimos dígitos<br>y así sucesivamente.''


;Ejemplo
:{| class="wikitable"
|<pre>4567.8     |95.62
 743.00    ——————
  73.660    47.77
   6.7250        
    .0326</pre>        
|<pre>4567.8   |95.62                  
 743.0   ——————   |95.6          
  73.8    4       —————  |95     
   7.3             7     ———   |9
    .1                    7    ——
                                8</pre>
|-
|Operación normal
|Operación abreviada
|}
Como puede verse, la secuencia potencialmente infinita de pasos de división larga, en los que en cada uno se obtiene una nueva cifra del cociente, se reemplaza por una secuencia finita de divisiones por un divisor que se reduce en un dígito de cada vez y en la que obtenemos un solo  dígito del cociente. Podemos llevar a cabo esta secuencia de divisiones usando el método de dividir que prefiramos; por ejemplo, usando la división tradicional ('''TD''') y la disposición tradicional de la división ('''TDA'''):

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ 4567.8/95.62
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJ'''
| 
|-
| 9562&nbsp;45678
| 
|-
| &nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.
| Columna unidad
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-4
| Regla: 4/9>4+4
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+44
| 
|-
| 9562&nbsp;49678
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-20
| Restar 4x5 de GH
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-24
| Restar 4x6 de HI
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-8
| Restar 4x2 de IJ
|-
| 9562&nbsp;47430
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Regla: 7/9>7+7
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+77
| 
|-
| 9562&nbsp;4<u>7</u>130
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-35
| Restar 7x5 de HI
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-42
| Restar 7x6 de IJ
|-
| 9562&nbsp;47738
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Regla: 7/9>7+7
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+77
| 
|-
| 9562&nbsp;47<u>7</u>08
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-35
| Restar 7x5 de IJ
|-
| 9562&nbsp;47773
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| Regla: 7/9>7+7
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+77
| 
|-
| 9562&nbsp;477<u>7</u>0
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+1
| Revisar al alza
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-7
| 
|-
| 9562&nbsp;47783
| 
|-
| &nbsp;.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;.
| Columna unidad
|}

== Raíz cuadrada ==

;''Matematicas''
:''Se sigue el método corriente hasta haber rebasado la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no empleados por el duplo de la raíz hallada, seguida de tantos ceros como periodos se han agregado''


;Ejemplo <math>\sqrt{123456789}</math>
:{| class="wikitable"
|+ Raíz cuadrada de 123456789
|<pre>  __________      
\/123456789| 11111 
           |-------
 -1        |              
 --        |       
  023      | 21x1  
  -21      |       
  ---      |       
   0245    | 221x1 
   -221    |       
   ----    |       
    02467  | 2221x1
    -2221  |       
    -----  |       
     024689| 22221x1 
     -22221|         
     ------|        
      02468|</pre>
|<pre>  ______
\/12345 |111
        |---
 -1     |              
 --     |
  023   |21x1
  -21   |
  ---   |
   0245 |221x1
   -221 |
   ---- |
    024 |  -->   246789|22200
                       ------
                  24789 11
                   2589
         _________
 ==>   \/123456789 = 11111</pre>
|-
|Operación normal
|Operación abreviada
|-
| colspan="2" |<math display="inline">\sqrt{123456789} = 11111.11106\cdots</math>
|}


Quizás la forma más sencilla de justificar esta forma de abreviar la raíz cuadrada sea la siguiente:

Si <math>a</math> es un valor aproximado de la raíz de <math>A</math>, entonces podemos escribir

<math display="block">\sqrt{A}=a+b=a\left (1+(b/a) \right )</math>

donde <math>b</math> es una pequeña corrección a <math>a</math>  y el cociente <math>\left ( b/a \right )</math> será una cantidad mucho menor que <math>1</math>: <math>\left ( b/a \right )\ll 1</math>. Entonces podemos escribir:
<math display="block">A = a^2\left (1+(b/a) \right )^2 = a^2\left (1+2(b/a)+(b/a)^2\right )</math>
pero si <math>\left ( b/a \right )\ll 1</math>, entonces <math>\left ( b/a \right )^2\ll \left ( b/a \right )</math> y despreciando este término podemos escribir:

<math display="block">A \approx a^2\left (1+2(b/a)\right )</math>

o bien

<math display="block">A - a^2 = r = 2ab</math>

donde <math>r</math> es el residuo que nos queda tras calcular <math>a</math>; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

<math display="block">b = \frac{r}{2a}</math>

Si consideramos que, por ejemplo, hemos determinado <math>a</math> con cinco cifras, entonces <math>\left (b/a\right ) < 10^{-5}</math> y <math>\left (b/a\right )^2 < 10^{-10}</math>, lo que justifica que al despreciar este último termino podamos calcular  <math>b</math> con cinco cifras; es decir que el método abreviado nos permita doblar la precisión de la raíz ya obtenida con una simple división.

Lo anterior también  puede justificarse de varias otras formas, por ejemplo, utilizando el [[w:serie de Taylor| desarrollo en serie de Taylor]] o el [[w:Radicación#Algoritmo_de_la_raíz_enésima|método de Newton]] de resolución de ecuaciones; lo cual es quizás interesante de mencionar por lo que comentaremos después sobre las raíces cúbicas.

A continuación ilustramos el proceso utilizando el ''método del medio resto'' (半九九法,''hankukuhou'' en japonés) como se explica en el capítulo: [[../../Métodos Tradicionales/Raíces Cuadradas/|Raíz Cuadrada]], que requiere cambiar el resto a su mitad y doble de la raíz a simplemente la raíz en el párrafo de ''Matemáticas'' anterior. Tenga en cuenta que la segunda fase, la división, se puede hacer en forma de división abreviada ya que solo tiene sentido obtener un número limitado de cifras de su cociente. Como consecuencia, obtener las últimas cifras de la raíz cuesta cada vez menos trabajo y tiempo por lo que podemos llamar a esta división la '''fase acelerada''' de la extracción de raíces.

;Ejemplo <math>\sqrt{123456789}</math>
:{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ Raíz cuadrada de 123456789 usando 半九九法 (''hankukuhou'') y división moderna
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJ'''
| 
|-
| &nbsp;123456789
| Problema planteado como de costumbre
|-
| &nbsp;&nbsp;23456789
| Restar el cuadrado de 1 del primer grupo 
|-
| &nbsp;&nbsp;117283945
| Dividir el resto por 2 in ''situ''
|-
| 1&nbsp;117283945
| Anotar 1 como primer dígito de la raíz en A
|-
| 11&nbsp;17283945
| Nuevo dígito de la raíz 1 en B (revisión al alza)
|-
| &nbsp;&nbsp;-1
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;-5
| Restar la mitad del cuadrado de 1 de D
|-
| 11&nbsp;12283945
| 
|-
| 111&nbsp;2283945
| Nuevo dígito de la raíz 1 en C (revising up)
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;-11
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-5
| Restar la mitad del cuadrado de 1 de F
|-
| 111&nbsp;1233945
| Ahora comienza la segunda fase o '''fase acelerada'''
|-
| &nbsp;&nbsp;+1
| Dividir 123 por 111
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;-111
| 
|-
| 1111&nbsp;123945
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;+1
| Dividir 12 into 11
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-11
| 
|-
| 11111&nbsp;13945
| Listo ¡ahora tenemos 5 dígitos de la raíz!
|}

== Raíz cúbica ==

;''Matemáticas''
:''Se sigue el método corriente hasta rebasar la mitad de las cifras de la raíz, obteniéndose las siguientes dividiendo el resto seguido de los periodos no usados por el triplo del cuadrado de la raíz seguido de tantos ceros como periodos se han agregado.''



;Ejemplo <math>\sqrt[3]{1234567890123}</math>
:{| class="wikitable"
|<pre> 3_____________
\/1234567890123|10727
               ------</pre>
|<pre> 3_____________
\/1234567890123|107  
     9524      ----     

9524890123 |3434700
           --------
2655490      27
 2512001</pre>
|-
|Operación normal
|Operación abreviada
|}

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, la aproximación utilizada aquí se puede justificar del siguiente modo:

Si <math>a</math> es un valor aproximado de la raíz cúbica de <math>A</math>, entonces podemos escribir

<math display="block">\sqrt[3]{A}=a+b=a\left (1+(b/a) \right )</math>

donde <math>b</math> es una pequeña corrección a <math>a</math>  y el cociente <math>\left ( b/a \right )</math> será una cantidad mucho menor que <math>1</math>: <math>\left ( b/a \right )\ll 1</math>. Entonces podemos escribir:
<math display="block">A = a^3\left (1+(b/a) \right )^3 = a^3\left (1+3(b/a)+3(b/a)^2 +(b/a)^3 \right )</math>
pero si <math>\left ( b/a \right )\ll 1</math>, entonces <math>\left ( b/a \right )^3\ll \left ( b/a \right )^2\ll \left ( b/a \right )</math> y despreciando estos dos términos podemos escribir:

<math display="block">A \approx a^3\left (1+3(b/a)\right )</math>

o bien

<math display="block">A - a^3 = r = 3a^2b</math>

donde <math>r</math> es el residuo que nos queda tras calcular <math>a</math>; por lo que tenemos la aproximación utilizada en el método abreviado:

<math display="block">b = \frac{r}{3a^2}</math>

que también nos permite doblar la precisión de la raíz cúbica ya obtenida con una división.

Al igual que en el caso de la raíz cuadrada, esta operación abreviada también se puede justificar de varias maneras, incluyendo el método de Newton que, por cierto y con mucho, es la mejor forma de obtener raíces cúbicas con el ábaco.<ref>{{cita web
 |title=Newton's method for abacus; square, cubic and fifth roots
 |year=2021
 |author=Cabrera, Jesús
 |work=jccAbacus
 |url=https://sites.google.com/view/jccabacus/abacus-articles/advanced-abacus-algorithms/newtons-method-for-abacus-square-cubic-and-fifth-roots?authuser=0
 |accesdate=August 17, 2021
}}</ref>; si bien no es una técnica tradicional, es mucho más eficiente que cualquier método tradicional y, si lo usamos, podemos decir que en cierto sentido estamos usando un ''método abreviado'' desde el principio (véase el capítulo: [[../Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas|Método de Newton para Raíces Cuadradas, Cúbicas y Quintas]]. Pero veamos un ejemplo utilizando un método tradicional: la raíz cúbica de 666. Seguimos aquí el método explicado por Cargill G. Knott<ref>{{Cita publicación
 | autor=[[w:Cargill Gilston Knott|Knott, Cargill G.]]
 | title=The Abacus, in its Historic and Scientific Aspects
 | journal=Transactions of the Asiatic Society of Japan
 | volume=14
 | year=1886
 | pages=18-73
 | url=https://archive.org/details/in.gov.ignca.26020/page/17/mode/2up
 }}</ref> (capítulo: [[../../Métodos Tradicionales/Raíces Cúbicas|Raíces Cúbicas]]).

Obviamente, la raíz cúbica de 666 está entre 8 y 9 por estar en el rango 512-728.

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; lene-height: 1.10em;"
|+ Raíz cúbica de 666
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFG'''
|   
|-
| &nbsp;666
| Entrar 666 en BCD
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;+
| (Columna unidad)
|-
| -512
| Restar 8<sup>3</sup>=512 de BCD
|-
| &nbsp;154
| 
|-
| 8154
| Entrar 8 en A. Dividir B-F por 8 (A)
|-
| 8192500
| Dividir B-F por 3
|-
| 8641662
| Dividir B por 8 (A)
|-
| 8781662
| Restar B<sup>2</sup>=49 de CD
|-
| 8732662
| Multiplicar C-F por 3 en C-G
|-
| 87&nbsp;9800
| Multiplicar C-F por 8 (A) en C-G
|-
| 87&nbsp;7840
| Restar B<sup>3</sup>=343 de EFG
|-
| 87&nbsp;7497
| Raíz: 8.7, Resto: 7.497
|}


Así que hemos obtenido 8.7 como raíz hasta ahora, dejando un resto de 7.497. Para aplicar el atajo necesitamos formar el divisor <math> 3 \times 8.7^2 </math>; Usaremos el binomio de Newton para formar el cuadrado y lo multiplicaremos por tres sumando el doble del valor obtenido.

{| class="wikitable" style="font-family:Courier; line-height: 1.10em;"
|+ Uso del método abreviado
|-
! Ábaco !! Comentario
|-
| '''ABCDEFGHIJKLM'''
| 
|-
| 87&nbsp;7497
| Elevando al cuadrado 8.7
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+49
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;-112
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+64
| 
|-
| 87&nbsp;7497&nbsp;&nbsp;7569
| Multiplicarlo por 3
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+14
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+10
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+12
| 
|-
| &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;+18
| 
|-
| 87&nbsp;7497&nbsp;22707
| Dividir 7.497 por 227.07 (¡La división puede ser abreviada!)
|-
|8733----22707
|obteniendo sólo dos cifras del cociente
|}


Alternativamente, también se puede dividir dos veces por 8.7 y luego por 3 para obtener el mismo resultado. Compare el resultado 8.733 con <math>\sqrt[3]{666}=8,7328917\cdots</math>

== Otras abreviaturas útiles ==
Lo que sigue es otro tipo de cálculo abreviado o aproximaciones completamente diferentes de lo anterior pero que pueden resultar útiles en la práctica. Todas estas expresiones son consecuencia del [[w:Teorema de Taylor|teorema de Taylor]].

Para <math>a,b \ll 1</math>
<math></math>
* <math>(1 \pm a)(1\pm b)\approx 1\pm a\pm b</math>  
**ej: <math>1.005\times 0.996\approx 1.001</math>
* <math>(1 \pm a)/(1\pm b)\approx 1\pm a\mp b</math>
* <math>(1\pm a)^n \approx 1+n\cdot a</math> 
**ej: <math>1.005^3\approx 1.015,\, 0.995^3\approx 0.985</math>
* <math>\sqrt[n]{1\pm a} \approx 1\pm a/n</math>
** ej: <math>\sqrt[3]{1.006}\approx 1.002</math>
* <math>1/(1\pm a) \approx 1 \mp a</math>
**ej:<math> 1/1.003\approx 0.997,\, 1/0.997\approx 1.003</math>
* <math>1/(1\pm a)^n \approx 1 \mp n\cdot a</math>
* …

== Referencias ==
{{reflist}}
<noinclude>----{{Libro++|Ábaco Oriental}}</noinclude>